“利润最大值”问题的解答策略

来源:用户上传      作者: 周邦益

　　数学来源于生活，生活也离不开数学，利用数学知识解决生活中的问题，是数学教学的目的，也是新课改的要求。数学涉及生活的方方面面，小到计算柴米油盐，大到计算企业的收支状况。纵观近几年各地的数学中考试题，“利润最大值”问题也常有出现，难易程度不一，它涉及方程、二次函数等方面的知识。在解决此类问题时，学生一定要结合实际情况灵活运用数学知识，不能生搬硬套数学公式。下面笔者结合具体试题，分析归纳此类问题的解题策略。
　　一、利用配方法，解决最大值问题
　　例1 （2013年江苏南通中考题）某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：
　　信息1：销售A种产品所获的利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系。当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6.
　　信息2：销售B种产品所获的利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x。
　　根据以上信息，解答下列问题：
　　（1）求二次函数解析式；
　　（2）该公司准备购进A，B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？
　　解析：该题第一问求二次函数的解析式不是难点，只要把两组数值代入公式，然后解方程组就能解决问题，得出二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x.关键是第二问：利润最大是多少？设销售A种 产品m吨，则销售B种产品（10-m）吨，代入上述两个函数，得到利润之和w=-0.1m2+1.2m+3.相信绝大部分学生能够得出该解析式，那么下面该怎么办呢？我们利用“配方法”把式子变形为w=-0.1（m-6）2+6.6，因为系数-0.1是负数，所以w有最大值，即当m-6=0时，利润最大。所以m=6时，最大利润是6.6万元。只要想到了对二次函数进行配方，那么这个问题就迎刃而解了。
　　二、利用二次函数图象的顶点，解决最大值问题
　　例2 某商品现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件。经市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出20件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件60元，如何定价才能使利润最大？
　　三、利用不等式分段确定，解决最大值问题
　　例3 某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹的生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：
　　（1）该厂对这两种型号的挖掘机有哪几种生产方案？
　　（2）该厂如何生产能获得最大利润？
　　（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m>0），该厂应该如何生产可以获得最大利润？（注：利润=售价-成本）
　　“最大利润”问题是中考数学的一个重要考点，题型比较灵活，分值也往往较高。这种试题可以考查学生对多种知识的综合运用能力，学生们一定要立足实际问题，结合二次函数知识、方程知识、不等式知识等来解决问题。当然，这种解题方法还可以拓展到“极值”问题，比如面积最大（涉及到面积公式）问题、如何用材料最省问题等。
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