凸函数与Hadamard不等式
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作者: 覃平阳
摘要：凸函数是数学分析中常见的一类函数，与凸函数有关的不等式有很多。本文主要分析了凸函数的原始定义，利用凸函数的一些性质证明Hadamard不等式，并介绍其应用。
关键词：凸函数 Hadamard不等式
一、引言
关于凸函数的理论及应用有许多专门的研究，由于凸函数本身是用不等式来定义的，而且有许多良好的性质，利用凸函数的这些性质以及一些等价条件解决不等式问题有许多方便之处，因为利用函数的凸性可以避免关于连续性和可微性的限制。
二、凸函数的定义及性质
（一）定义
设f（x）为定义在区间上的函数，若对I上任意两点x1，x2和实数λ∈（0，1）总有f[λx1+（1-λ）x2]≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），则称f（x）为I上的凸函数。若不等号严格成立，则称f（x）为I的严格凸函数。
（二） 凸函数的性质
引理1：设f（x）是区间I上的凸函数，[a，b]?I，则f（x）在[a，b]上满足Lipsditz条件，即存在常数L>0，使得对?x1，x2∈[a，b]有
|f（x2）-f（x1）|≤L|x2-x1|
由此可得f（x）在[a，b]上是一致连续的。
引理2： 积分型的Jensen不等式
设f（x）是区间I上的连续凸函数，g（t）：[α，β]→I是逐段连续函数，且至多有有限多个第一类间断点，则有以下不等式成立
f（g（t）dtx）≤f（g（t））dtx
由于凸函数本身是用不等式来定义的，因此，可以根据前面所叙述的凸函数的定义，利用函数的凸性来证明有关的不等式。
（三） Hadamard不等式
设f（x）是区间[a，b]上的凸函数，则有以下不等式成立
f（）≤f（x）dx≤
证：f（x）是区间[a，b]上的凸函数，则对于?λ∈（0，1），由定义得
f[λa+（1-λ）b]≤λf（a）+（1-λ）f（b）。
令x=λa+（1-λ）b∈[a，b]，即λ=，1-λ=，代入上式得
f（x）≤f（a）+f（b）。
f（x）的定义域是闭区间[a，b]，由引理1知函数f（x）在[a，b]上一致连续，从而连续、可积。
将上式两端在[a，b]上积分可得
f（x）dx≤（b-x）dx+（x-a）dx=[f（a）+f（b）]
两端除以（b-a）得
f（x）dx≤
下证另一个不等式也成立：
在引理2的积分型Jensen不等式中，取α=a，β=b，g（t）=t可得
f（tdt）≤f（t）dt
即f（）≤f（x）dx。
综合以上两式即得
f（）≤f（x）dx≤。
现在，我们观察一下这个不等式的形式，它实际上给出了函数f（x）在闭区间[a，b]上的积分平均值f（x）dx的最大值和最小值。它的内容与数学分析中利用定积分的性质得到的估值不等式的内容有类似之处。估值不等式的内容叙述如下：
若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，M，m分别为f（x）在闭区间[a，b]上的最大值和最小值，则有下列不等式成立：
m≤f（x）dx≤M
若函数f（x）是闭区间[a，b]上凸函数，则可以用Hadamard不等式来代替上述的估值不等式，且前者比后者具有更精确的估值区间。我们来分析下面的一个例子。
例：设A=，试估计出它的范围。
解：（1）应用估值不等式求解：
设函数f（x）=，x∈[1，5]，f'（x）=>0，x∈[1，5]
则函数f（x）=在区间[1，5]上单调递增，其最大值和最小值分别为
M=f（5）=≈25.0200
m=f（1）=≈1.4142
由估值不等式得1.4142≤A≤25.0200。
（2）应用Hadamard不等式求解
f（x）=，x∈[1，5]
f'（x）=，f″（x）=>0，x∈[1，5]
故f（x）=在区间[1，5]上是凸函数，且有
f（）=f（3）=≈9.0553
=≈13.2171
由Hadamard不等式得9.0553≤A≤13.2171。
按估值不等式解得区间的长度为d1=25.0200-1.4142=23.6058，按Hadamard不等式解得区间的长度为d1=13.2171-9.0553=4.1629，
[9.0553，13.2171]?[1.4142，25.0200]且d1：d2<1：5。
由此可见，用Hadamard不等式比用估值不等式求解精确许多。
参考文献：
[1]华东师大数学系.数学分析[M].高等教育出版社，1991.
[2]寇述舜.凸分析与凸二次规划[M].天津大学出版社，1994.
[3]马顺业.数学分析研究[M].山东大学出版社，1996.
[4]张从军.数学分析概要二十讲[M].安徽大学出版社，2000.
[5]匡继国.常用不等式[M].山东科学技术出版社，2004.
作者简介：
覃平阳（1979- ），女，硕士，主要研究方向：计算数学。（责编 赵建
荣）
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