在线性代数中，对角化是一个非常重要的概念。一个矩阵的对角化可以使得矩阵的运算变得更加简单，因此对角化也被广泛应用于各种领域的数学和科学中。那么，对于一个矩阵a，如果a的平方等于a，那么a是否可以对角化呢？

首先，我们需要知道什么是对角化。对于一个n阶矩阵A，如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得P逆AP是一个对角矩阵D，那么我们称A可以被对角化。对角矩阵是一种特殊的矩阵，它的非对角线上的元素都为0，而对角线上的元素则是矩阵A的特征值。

接下来，我们来证明如果a的平方等于a，那么a可以对角化。根据特征值的定义，我们可以得到以下等式：

a·v = λ·v

其中，v是a的特征向量，λ是它对应的特征值。我们将这个等式两边同时乘以a，得到：

a²·v = λ·a·v

由于a²等于a，我们可以将上式简化为：

a·v = λ·a·v

这说明，如果v是a的特征向量，那么a·v也是它的特征向量，并且特征值相同。因此，我们可以将a的所有特征向量组成一个矩阵P，得到：

a·P = P·D

其中，D是一个由a的特征值组成的对角矩阵。由于a的特征向量构成的矩阵P是可逆的，因此我们可以将上述等式两边同时乘以P的逆矩阵，得到：

a = P·D·P⁻¹

这里的P⁻¹是P的逆矩阵。由于D是一个对角矩阵，因此a可以被对角化。

综上所述，如果a的平方等于a，那么a可以被对角化。这个结论对于矩阵的运算和分析都非常有用，因此在实际应用中也经常被使用。