对称矩阵是线性代数中非常重要的概念，它具有很多独特的性质。对称矩阵是指一个矩阵的转置矩阵和原矩阵相等，即$A=A^T$。下面我们来介绍一些对称矩阵的性质。

首先，对称矩阵的特征值都是实数。这是因为对于任意一个矩阵$A$，其特征多项式的根（即特征值）都是实数或者复数共轭对出现。而对于对称矩阵$A$，有$A=A^T$，所以$A$的特征多项式的系数都是实数，因此其特征值都是实数。

其次，对称矩阵的特征向量可以正交。这是因为对于一个对称矩阵$A$，如果$\lambda_1$和$\lambda_2$是不同的特征值，那么对应的特征向量$v_1$和$v_2$满足$v_1^Tv_2=0$。这是因为$v_1^TAv_2=v_1^T\lambda_2v_2=\lambda_2v_1^Tv_2$，而$v_1^TAv_2$和$v_1^TAv_2=v_2^TA^Tv_1=v_2^TAv_1=\lambda_1v_2^Tv_1$，因此有$(\lambda_2-\lambda_1)v_1^Tv_2=0$，由于$\lambda_1 \neq \lambda_2$，所以$v_1^Tv_2=0$。

另外，对称矩阵可以对角化。这是因为对于一个对称矩阵$A$，其特征向量可以正交，因此我们可以将其特征向量构成一个正交矩阵$P$，即$P^TP=I$，其中$I$为单位矩阵。然后我们可以将$A$表示为$A=PDP^T$的形式，其中$D$是对角矩阵，其对角线上的元素就是$A$的特征值。

最后，对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。这是因为对于一个对称矩阵$A$，如果存在其逆矩阵$A^$，那么有$A^=(PDP^T)^=PD^P^T$，其中$D^$是对角矩阵，其对角线上的元素就是$A$的特征值的倒数。由于$D$是对角矩阵，因此$D^$也是对角矩阵，所以$A^$也是对称矩阵。

综上所述，对称矩阵具有很多独特的性质，这些性质使得对称矩阵在数学和物理中都有广泛的应用。