机械能守恒公式是物理学中的一个重要定律，它描述了机械系统中的能量转化和守恒关系。它的推导过程可以从机械能的定义入手，逐步推导得出。

首先，我们来看机械能的定义。机械能是指物体在运动过程中所具有的动能和势能的总和。动能是由物体的质量和速度决定的，而势能则是由物体的位置和相互作用力决定的。在机械系统中，能量可以从动能转化为势能，或者反过来，但总能量必须保持不变。

接下来，我们考虑一个简单的机械系统，如一个质点在重力场中的自由落体运动。这个系统中，质点的动能随着速度的增加而增加，而势能则随着高度的增加而增加。根据机械能的定义，这个系统的机械能可以表示为：

E = K + U

其中，E表示机械能，K表示动能，U表示势能。

现在，我们来看一下这个系统的能量转化过程。当质点从高处落下时，它的势能逐渐转化为动能，直到质点到达最低点时，势能为0，动能最大。然后，当质点开始向上运动时，它的动能逐渐减小，而势能逐渐增加，直到质点回到最高点时，动能为0，势能最大。这个过程中，质点的机械能始终保持不变。

我们可以用公式表示这个过程：

E1 = K1 + U1 = E2 = K2 + U2

其中，E1和E2表示质点在不同位置时的机械能，K1和K2表示质点在不同位置时的动能，U1和U2表示质点在不同位置时的势能。

根据质点的运动状态，我们可以将动能和势能表示为：

K1 = (1/2)mv1^2, U1 = mgh1

K2 = (1/2)mv2^2, U2 = mgh2

其中，m表示质点的质量，v1和v2表示质点在不同位置时的速度，h1和h2表示质点在不同位置时的高度。

将这些式子代入机械能守恒公式，得到：

(1/2)mv1^2 + mgh1 = (1/2)mv2^2 + mgh2

这就是机械能守恒公式的推导过程。它告诉我们，在一个封闭的机械系统中，机械能始终保持不变。这个公式在物理学中有着广泛的应用，可以用来分析各种机械系统的运动状态和能量转化过程。