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傅立叶级数及其应用

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  【摘要】 傅立叶级数是分析信号与系统最基本的分析工具,傅立叶的思想和方法还被广泛用于线性规划、大地测量以及电话、收音机、X射线等难以计数的科学仪器中,是基础科学和应用科学研究开发的系统平台。本文从高等数学的视角,对傅立叶级数,傅立叶变换的核心内容进行了数学分析,在傅立叶相关理论的基础上,举例说明了傅立叶变换在现代磁共振图象重建技术方面及傅立叶级数在交流技术方面的具体应用。
中国论文网 /2/view-13227123.htm
  【关键词】 傅立叶级数 傅立叶变换 应用
  
  一、数学是一切自然科学的基础,任何现代科技的发展都离不开数学原理的运用,磁共振成像技术也不能例外,比如,现代磁共振图象重建技术主要是通过傅立叶变换实现的。本文从高等数学的视角,对傅立叶级数,傅立叶变换进行了数学分析,并举例说明傅立叶变换在实际生活中的具体应用。本文在介绍傅立叶相关理论的基础上,对傅立叶级数在磁共振图像重建技术的作用进行了较为全面的讨论,从理论上分析了傅立叶理论在图像处理中的重要性,并进而说明了傅立叶级数在实际生活中的重要性。
  二、傅立叶分析的主要内容有傅立叶级数、傅立叶变换等。傅立叶变换给出了一个非周期时域函数的频域描述、根据时域信号的类型可以用多种方法求解傅立叶变换、求傅立叶变换的方法包括:根据积分定义求解、通过拉氏变换求解、通过极限求解、利用傅立叶变换的函数变换和运算变换求解、响应信号y(t)的傅立叶变换为Y(ω)=X(ω)*H(ω),X(ω)为输入信号x(t)的傅立叶变换、H(ω)为网络函数H(s)在s=jω处的值、傅立叶变换电路应用与拉氏变换电路应用的比较、帕塞瓦尔定理、傅立叶变换将f(t)包含的总能量的一部分与一个焦耳特定频带联系起来。
  例如,磁共振装置在成像时接收的MR信号是不同体素内的质子所发出的具有不同共振频率的复合信号。虽然是一系列非常复杂的生物体信号,但是通过傅立叶变换,可以将这些复杂的复合信号还原为与其空间磁场相对应的位置信号,并使其简单化。傅立叶变换像一个“转换体”,它可以将复杂的时域信号变为简单的频域信号。傅立叶变换为什么会有这样的性质呢?为了证明这个问题,我们首先引入傅立叶级数的概念。
  在高等数学中,周期为T的函数F(t)可以有如下傅立叶级数:
  F(t)=Ancos()t+Bnsin()t
  其中An、Bn为傅立叶级数,在T≤t≤T范围内有:
  An=f(t)cos()tdt
   Bn=f(t)sin()tdt
  可以看出,如果周期T和n已知,An、Bn通过定积分可以变为常数,分析傅立叶级数公式可知f(t)是一些简单的正、余弦三角函数之和。换句话说,看似复杂的周期函数f(t)是由一些十分简单的周期函数叠加而成,从物理角度而言,一个复杂的周期运动能被看作许多不同频率的简谐振动的叠加。
  对于以上傅立叶级数,当f(t)为奇函数时,由于cos()t 为偶函数,且奇函数×偶函数=奇函数,所以f(t)cos()t为奇函数,又由奇函数在对称区间上积分为0的性质,故有下式:
   An=f(t)cos()tdt=()
  当f(t)为偶函数时,由于sin()t为奇函数,同理有f(t)sin()t为奇函数,故有下式:
  Bn=f(t)sin()tdt=()
  综上所述f(t)又可表示为: f(t)Ancos()t→f(t)=f(-t)Bnsin()t→-f(t)=f(-t)
  由此可见,余弦波的傅立叶变换是对称性的,而正弦波的傅立叶变换是非对称性的。
  三、傅立叶级数在磁共振图象重建技术中的应用
  在磁共振成像中,为了能确定体素的空间位置,对人体头足、左右、前后方向按一定的顺序先后施加微弱强度的线性梯度磁场,梯度磁场与主磁场叠加后,使躯体不同位置所对应的磁场强度有一个线性变化。当层面选择时,根据欲选层面所对应的磁场强度,发射具有一定频率范围的射频脉冲,就能使相应层面的质子受到激励。我们用一个简单的方波函数进行举例说明。设方波函数为
  f(t)1....t≤0....t>,图象如图1所示,并对其进行傅立叶变换:
  F(ω)=f(t)edt=cosωtdt-isinωtdt
   由于sinωt是奇函数,所以上式=cosωtdt=
  即为傅立叶变换后的函数,如果我们令此函数为0,则有下式:
  所求ω即为函数0点,如图2所示。
  很显然,图2是一个时域方波的频谱。从图2中可知,用宽度为τ的方波脉冲便能激发ω0± 范围内的频率。如果改变方波宽度τ,所激发的频率范围亦将改变。τ值越小,ω0±2π值越大,其激发的频率范围也就越宽;τ值越大,则相反。在实验操作中,当欲选层面确定时,设备会根据欲选层面所对应的磁场强度以及所选层厚,给出适当频率范围的脉冲,达到对所选层面进行选择性激励的目的。停止发射激励脉冲后,所选层面内的质子开始弛豫,但缺乏空间定位信息。如果在1800C聚相脉冲之前,对所选层面的前后轴向上施加梯度脉冲,会使层面内所有体素按列出现相位差。当接受信号前的瞬间,再在所选层面的左右轴向上施加一个梯度脉冲,又会使层面内所有体素按行出现频率差别。此时,层面内所有体素都将具有特定的相位和频率,而我们接受到的也将是这些体素发出的叠加在一起信号,经过傅立叶变换后,复杂的时域信号被简单的频域信号所表示,并与层面内体素一一对应,从而完成图象的重建。
  四、结论:傅立叶变换是一种非常强大的数学工具,其应用实例很多。它不仅在磁共振成像技术中,而且在分析信号技术中也有着十分重要的应用。傅立叶变换看似复杂,但实际上(下转第136页)
  (上接第105页)在计算科学中是一个相对简单的概念,它就是一种用频率来表示信号的方法,因为在频率域内进行数学计算时要比在时间域内更容易一些,所以在特定的范围和条件下,采用这种时频转换是极其必要的。因此认识与了解傅立叶级数与傅立叶变换,对于理解和应用这些变换都有着实际上的意义。
  参考文献:
  [1] 于素芹.信号与系统―分析基础[M ].北京:北京邮电大学出 版社, 1997.
  [2] 董绍平,陈世耕,王洋.数字信号处理基础[M ].哈尔滨:哈尔滨 工业大学出版社, 1996.
  [3] 张昶,杜昱平.磁共振成像技术[M].太原:解放军白求恩国 际和平医院医疗卫生装备,2008.
  作者简介:
  田子德(1963---),吉林白城人,男,吉林省白城师范学院数学系副教授,主要从事数据库,数据仓库及数据挖掘方面的教学与应用研究。

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