凸函数的判定及性质

来源:用户上传      作者: 孙兰敏

　　【摘要】在高等数学中，求函数极限是最基本、最重要的内容之一。而学生学习该内容时往往感到十分困难，解题时不知如何下手。就求解函数极限，要因题目中函数的特征及自变量变化趋势的不同，而寻求相应正确的解题方法及一题多解。培养学生创新意识，提升求异思维能力及分析解决问题的能力。
　　【关键词】极限 求异思维 一题多解 创新
　　1引言
　　求函数极限解法不唯一，要仔细观察所给函数的特征及自变量变化趋势，联系已有求函数的知识，对函数极限通过观察，进行分类、对比，把陌生的问题转换为熟悉的问题， 研讨各种解法，选择恰当解法，使得问题得到简化。下面以例题为例说明。
　　2确定极限类型是寻求解法的关键
　　求解极限时，我们必须从以下两个方面观察、分析：一是极限函数形式的特点；二是自变量的变化趋势。从而寻求此类题目最佳的解题方法和一题多解的综合应用。
　　例题1 limx→1ln（2-x）1-x解法一：分析：当 x→x0时，出现00型。观察是否符合洛必达法则的条件，用洛必达法则求解。limx→1ln（2-x）1-x=limx→1-12-x-1=1。
　　解法二：分析：变形函数ln（2-x）1-x=11-xln[1+（1-x）]=ln[1+（1-x）]11-x，当 x→1时，出现1∞型，尝试是否符合重要极限二。limx→1ln（2-x）1-x= limx→1ln[1+（1-x）]11-x=lnlimx→1[1+（1-x）]11-x=lne=1。可见，抓住求极限函数特征的同时，还要善于掌握它们的变形。
　　例题2 limx→01-cosx2x2sinx2解法一：分析：此法利用无穷小量代换求解，当 t→0时，sint～t，1-cost～12t2。limx→01-cosx2x2sinx2=limx→012（x2）2x2・x2=12 。
　　注意 无穷小量代换，一般在乘积形式出现时代换，若和差形式出现时慎代，否则代换后往往改变了无穷小量之比的‘阶数’。
　　解法二：分析：此法观察函数，利用三角和化积1-cost=2sin2t2并配合重要极限一求解。
　　limx→01-cosx2x2sinx2=limx→02sin2x22x2sinx2=limx→0sinx22x22・1sinx2x2・sinx22x22・12=12
　　解法三：分析：此法利用洛必达法则并配合重要极限一求解。
　　limx→01-cosx2x2sinx2=limx→02xsinx22xsinx2+2xx2cosx2=limx→0sinx2sinx2+x2cosx2=limx→0sinx2x2sinx2+x2cosx2x2=12
　　3 极限计算常见的错误
　　求解函数极限时，不仅要注意自变量变化趋势，而且要仔细观察函数表达式的特征结构。同时，在使用重要极限一、重要极限二、洛比达法则的时候，要特别注意是否符合使用条件。否则，有一个条件不符合，极限的计算就会出错。
　　例题3 limx→0（1+cosx）secx
　　解法：分析：因为当 x→0时，cosx→1。显然limx→0（1+cosx）secx不符合重要极限二，而同学们常出错计算为limx→0（1+cosx）secx=e是没有注意自变量变化趋势。正确解法：limx→0（1+cosx）secx=2
　　例题4 limx→∞x+cosxx
　　解法：分析：使用洛必达法则时：⑴必须是不定式00型或∞∞型；⑵必须满足洛必达法则的条件；⑶洛必达法则并非万能，有时求不出不定式的极限。
　　limx→∞x+cosxx=limx→∞1-sinx1=limx→∞（1-sinx） 这时极限不存在，洛必达法则失效，寻求其他解题方法。 正确解法： limx→∞x+cosxx=limx→∞（1+1xcosx）=1。
　　4结束语
　　综上所述，求函数极限的方法较多，我们要具体问题具体分析。通过综合训练，提高学生对题目的观察、分析、比较，研讨各种解法，寻找此类题目简便解法。要勤于思考，善于总结，多向思维，开阔思路，提高解题技巧和方法，积累解题经验，探索解题规律，培养学生求异思维能力，对提高思维的灵活性，激发创新精神具有重要意义。
　　参考文献：
　　[1]同济大学应用数学系.高等数学（上）[M].北京：高等教育出版社，2002.，58-143.[2]盛祥耀.高等数学辅导[M].北京： 北京：高等教育出版社，2003.[3]高夯.数学学习与研究[J].东北师范大学出版社，2013.17.
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