城市居民食品分类及零售价格预测的数学模型
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摘 要 通过提供资料，对城市食品种类进行划分，建立灰色模型，将不同种类的食品归一化后的消费价值作为输入数据，对未来两个月的不同种类食品价格进行预测，将本文所得模型尽可能向更宽的领域推广，最大限度的发挥数学建模解决实际问题的能力。
关键词 价值指数；灰色预测法；matlab；归一化；CPI月环比
中图分类号 O1 文献标识码 A 文章编号 1673-9671-(2011)121-0203-01
1 问题的提出
消费者物价指数CPI是反映与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标。城市居民食品零售价格是消费者物价指数的重要组成部分。根据数据建立数学模型，将食品适当分类，并预测2011年4、5月的城市居民食品零售价格走势。
2 模型的假设
1）假设在预测期间没有可以严重影响到食品价格的重大的事故发生。
2）假设在预测前，对食品的供给量有充足的保障，消费量不会突然变化。
3）假设CPI对于各类食品价格的影响相同。
4）由于CPI有作用有延迟效应，所以可以假设在预测期间，各个周期CPI相同。
3 模型的分析
利用食品本质特征，贮藏方式，地区因素，季节因素，居民需求量对食品进行分类。之后对所提供数据进行归一化处理，得到不同种类食品在不同月份的价格指数，根据网络信息得到CPI各个月份月环比。由于食品价格受到CPI影响，所以根据他们之间的关系可以求出食品的价值指数，以价值指数为灰色模型的输入数据进行建模，用matlab对模型进行编程求出四五月份的预测价格指数，得出四五月份的食品预测价格。
4 模型的建立与求解
4.1 数据处理
根据不同食品中各种营养成分的含量将日常食品分为油类、红肉类、禽蛋类、水产类、蔬菜类、水果类及副食类7大类。根据2010.3-2011.4的城市居民食品零售价格的数据，对他进行初步的处理，其处理过程为：把每种食品一个月的三次价格进行平均值处理，再对每种食品的价格进行归一化处理。即先求出在2010.3-2011.4，每种食品在这13个月中价格的平均值，然后再将每个月的价格除以价格的平均值，得到每种食品的价格指数Aij。经过处理以后再将不同种类食品中在每个月的价格指数，进行求平均值处理，得到这类食品在每个月的价格指数Bij。最后，由于每个月的CPI指数也会对食品的价格指数产生影响，所以，我们提出食品的价值指数Cij（表示食品的本身价值。通货膨胀所带来的价格的变化，以及货币的贬值对它的影响不大）：
4.2 模型的建立
经过数据处理以后，我们再采用灰色预测法建模原理来对问题来进行建模。灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法，是对即含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测，也是对在一定范围内变化的与时间有关的灰色过程进行预测。
基于灰色建模理论的灰色预测法，按照其预测问题的特征可分为数列预测、灾变预测、季节灾变预测等几种。数列预测是对某一指标的发展变化情况所作的预测，其预测的结果是该指标在未来各个时刻的具体数值。这里采用基于累加生成数列的GM(1,1)模型。
对原始数据作一次累加。设原始灰色数据为X(0)(1)，X(0)(2)，…，
X(0)(n)， 对其作一次累加，得：
累加数列克服了原始数列的波动性和随机性，转化为规律性较强的递增数列，为建立微分方程形式的预测模型作好准备。
建立GM(1,1)模型。微分方程为：
这就是灰色预测模型GM(1,1)，其中a，u为常数．根据灰色理论，系数向量可通过最小二乘法拟合得到。其中，
代入可得微分方程的解为：
然后可以通过来求得原始数据。
4.3 模型的求解
根据MATLAB求解如下：对于油类食品结果得D1,13=1.098 1，D1,14=1.120 8，D1,15=1.144 1。有公式：
CPI14=1.86%；CPI15=3.98%。同理，红肉类食品CPI14=1.86%；CPI15=3.95%；禽蛋类食品CPI14=1.19%；CPI15=3.02%；水产类食品CPI14=0.33%；CPI14=0.85%；蔬菜类食品CPI14=0.92%；CPI15=2.08%；水果类食品CPI14=2.45%；CPI15=5.16%；副食类食品CPI14=0.36%；CPI15=0.92%。
5 模型的评价与改进
1）模型的优点。利用了灰色预测法建立了对含有不确定因素的系统进行预测的数学模型，可以对即含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测，也是对在一定范围内变化的与时间有关的灰色过程进行预测。
2）模型的改进。应当进一步细化CPI对各类食品价格的影响程度，以增加预测的准确性。另外考虑影响食品价格的其他因素，并分析其重要性进行加权处理，列入建模条件之中，以增加结果的可靠性。
3）模型的推广。该模型运用了灰色预测法，可以对含有不确定因素的系统进行预测，因此此模型可以广泛应用于工业生产、管理等中去。例如：食品安全抽样调查、人口调研以及产品安全调查等中。
参考文献
[1]肖新平.灰色系统模型方法的研究[D].华中理工大学,2002.
[2]徐中华.灰色控制[M].北京:国防工业出版社,2005.
作者简介
李廷耀（1992―），男，籍贯：四川成都，学历：本科，研究方向：土木工程。
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