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圆系方程及其应用

来源:用户上传      作者: 李鹏业

   圆系方程主要指的是:过直线与圆的交点的圆的方程。直线L:Ax+By+C=0,圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0。若直线与圆相交,则过交点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(其中λ为常数)。方程中只有一个参量λ,只要一个方程即可求出λ的值,此时圆的方程也就确定了。
  【例1】求经过A(1,3)和圆x2+y2-8x+7y-10=0与直线2x-3y-6=0的交点的圆的方程。
   解:设所求的圆的方程为:x2+y2-8x+7y-10+λ(2x-3y-6)=0。
  由已知,圆过点A(1,3),∴12+32-8×1+7×3-10+λ(2×1-3×3-6)=0,∴λ=1。
  所求的圆的方程为x2+y2-8x+7y-10+1×(2x-3y-6)=0,
   即x2+y2-6x+4y-16=0。
  说明:此方法很大程度上减少了计算量,提高了做题的效率。
  【例2】求过直线x+3y-7=0与已知圆x2+y2+2x-2y-3=0的交点,且在两坐标轴上的四个截距之和为-8的圆的方程。
   解:设所求圆的方程为x2+y2+2x-2y-3+λ(x+3y-7)=0、
  令y=0,得x2+2x+λ(x+-7)=0,即:x2+(2+λ)x-7λ=0,X轴上的截距和为-(2+λ)。
   令x=0,得y2-2y-3+λ(3y-7)=0,即:y2+(3λ-2)y-7λ=0,Y轴上的截距和为-(3λ-2)。
   由已知截距和为-8,∴-(2+λ)-(3λ-2)=-8,∴λ=2,
   ∴所求圆的方程为x2+y2+4x+4y-17=0。
   说明:用圆系方程解决这道题目就能体现极大的优越性,比用传统方法待定系数法计算量小很多。
  
  (作者单位:洛阳一高)


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