谈如何通过数学课本习题探究培养学生的思维能力

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　　目前，还有部分教师在课本习题教学中，就题论题，忽视拓展延伸，甚至有的干脆避过不讲，或者教师自己解决，直接呈现结果，给学生独立思考的时间和自主探索活动的空间很少甚至没有，这种做法严重阻碍了学生思维的发展，打击学生学习数学的积极性。为了改变这种情况，使我们的数学教育更加符合新课程理念要求，使数学习题教学增加趣味性，摆脱枯燥无味之说，这就需要教师在习题教学过程中，除注意增加变式题、综合题外，还应适当留足够时空给学生去做一些探究性较强的习题，从而培养学生思维的深刻性和灵活性，克服学生思维的呆板性．下面笔者就以北师大版必修课本中的习题为例，谈谈自己的一些做法和体会，与同行交流。
　　一、一题多解，培养学生发散性思维
　　不少教师不太注重一题多解的训练，认为“通法”才是最重要的，不必过多地去探索其他解法，这是十分片面的。事实上，一题多解，不仅可以通过少量的问题去沟通各部分知识间的联系，拓宽解题的思路，而且有利于培养学生创新精神。如必修4 P.107A第6题：已知平行四边形ABCD的顶点A(1，0)，B(0，2)，C(-1，-2)，求顶点D的坐标。很多学生都是机械地模仿前面例5中的两种方法，当老师问还有其他解法时，学生跃跃欲试，但是大部分学生摆脱不了用向量方法去思考这种定势思维，无从入手，这时教师正确引导学生，让学生在稿纸上画图，观察平行四边形四个顶点与对角线交点的关系，从中发现，对角线交点既是线段AC的中点又是线段BD的中点，只要由A、C两点坐标求出交点坐标，进而通过中点坐标公式即可求出点D的坐标。第三种解法是对比其他不会做的同学的创新方法，让学生感受到学习的成就感，这种方法从几何特征出发，解题的切入点与用向量方法就有区别，接着又有一位学生想出用直线斜率相等与两点间的距离公式联立方程来解决问题，学生可以比较几种方法选择最优解法，在发现新解法时，巩固了以前所学的知识。
　　二、一题多变，培养学生举一反三的能力
　　要不被千变万化的表象所迷惑，抓住本质的东西，变式教学是一种可以运用于教学的有效办法。通常可以利用练习变式训练学生的思维，使学生在多变的问题中受到磨练，举一反三，加深理解。如必修1 P.50A第2题：已知函数f(x)=x2+1是偶函数，而且在（0，+∞）上是增函数，判断f(x)在（-∞，0）上是增函数还是减函数，并证明你的判断。此题可以从“形”方面去判断，即通过画图直观分析，也可以从“数”方面去论证，前提是对函数奇偶性和增减性定义的理解。我们由该题还可以变出本质一样的多种题目。
　　对课本习题作相应变式引申，在比较中进行学习，使学生容易搞清相似的概念、方法，或者对原方法有更透彻的认识。变式可以比较有效地解决惯性思维的负迁移，起到事半功倍的效果，体现“源于课本而高于课本”的思想，培养学生的发散性思维。
　　三、多题一解，培养学生抽象概括的能力
　　数学抽象概括能力是数学思维能力，也是数学能力的核心。它具体表现为对概括的独特的热情，发现在普遍现象中存在着差异的能力，在各类现象间建立联系的能力，分离出问题的核心和实质的能力，由特殊到一般的能力，从非本质的细节中使自己摆脱出来的能力，把本质的与非本质的东西区分开来的能力，善于把具体问题抽象为数学模型的能力等方面。在数学抽象概括能力方面，不同数学能力的学生有不同的差异，具有数学能力的学生在收集数学材料所提供的信息时，明显表现出使数学材料形式化，能迅速地完成抽象概括的任务，同时具有概括的欲望，乐意地、积极主动地进行概括工作，如必修4 P.121B第2题：化简：
　　这些习题都有一个共性，就是把形如的式子，我们可以引导学生观察式子结构，具有什么特征，与已学的和差角公式有相似的地方吗？对于特殊值可以用特殊角的三角函数值来代替，那对于非特殊值又怎样做呢？能不能用一种形式来表示？教学过程不断让学生归纳概括，把不熟悉的知识尽可能转化为学生熟悉的知识，逐步实现思维的正向迁移。
　　四、比较分析，培养学生观察分析、猜想证明的能力
　　丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式．而提高学生的猜想能力是培养创造性思维的一个有效途径．教师要善于创设适当的问题情境，注意启发诱导，激发猜想兴趣，进行大胆猜想，并注重实践检验，对猜想作出正确评价，鼓励学生主动发现数学的规律，使他们经历知识形成和发展的过程，如必修4 P.135B第12题：
　　观察以下各等式：
　　分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。
　　五、实践操作，培养学生应用数学解决实际问题的能力
　　学习数学就是为了应用数学知识解决实际问题。因此，对新学习的数学知识，教师应多方搜集现实生活及其他学科中与新知识相联系的背景，创设数学问题情境，而当学生掌握了有关知识和技能后，再引导学生在现实世界中探求应用，构造数学模型解决实际生活中的问题，这样，在学习过程中理论与实际形影不离．如题：夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上，为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业拉电闸限电，而到了0时以后，又出现电力过剩的情况．因此每天的用电也出现周期性的变化．为保证居民用，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时期用电。请你调查你们地区每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方案。该问题在本市夏天每年都会遇到，笔者指导学生先到供电部门获取相关数据，绘制出用电量随时变化的三角函数图象，然后根据相关电价规定制定方案。即使有绘制图象不准而导致解决不理想的情况，但是这样适当开展实习作业，培养学生分析问题和解决问题的能力，以及初步的数学建模能力，发展学生的数学应用意识，提高他们的数学实践能力。

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