如何有效地沟通数学知识的内在联系
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作者: 高忠
【摘 要】把数学知识上下沟通，左右逢源，把平时所学的零碎的知识片段，编织成网，使其系统化、整体化，是初中生学好数学必须具备的能力，这种能力，不是自然形成的而是通过教学引导逐步训练而成，边学边总结，将知识逐步系统化、整体化这种习惯一旦养成，学生会在数学领域便会获得较大的效益。
【关键词】初中生；数学知识；内在联系
一元二次方程的根的判别式知识在初中数学中占有一定比例，就如何使学生熟练的掌握，巧妙的运用，谈谈自己以下几点的教学体会：
一、复习回忆时 加强新旧知识的内在联系
引入新课的课题之前，利用一点时间对前一段知识进行复习，新课开始请学生回忆思考：用求根公式法解一元二次方程的步骤是什么？为何在代入求根公式之前要先计算一下b2-4ac的值？在把系数代入求根公式前，必须写出哪两步?为什么要先写这两步?
例 用求根公式法解方程：2x2+10x-7=0。
解：因为a=2,b=10,c=-7,
b2-4ac=102-4×2×(-7)=156＞0……
在解此方程，为什么在把系数代入求根公式前，要先写出a=2,b=10,c=-7和b2-4ac=102-4×2×(-7)=156＞0两步?是因为方程的根是由各项系数确定的，所以必须先确认一下a,b,c的取值，对于初学者来说尤其是写清楚系数的+与-，这一步写误，影响题目的解答过程与结果，这就是先确认a,b,c的取值的原因； 又因为一元二次方程不一定有实数解，而有无实数解是由根的判别式决定的，所以必须先了解一下代数式b2-4ac的值，如果b2-4ac的值是负的，则方程无实数解，也就没有必要继续解下去了，这就是将一元二次方程各项系数代人根的判别式计算的原因。
这两步虽然简单，决定解答的正误，是今后深入学习的基础，充分显示了知识之间的内在联系，所以在学习新知识之前必须带领学生走好这两步。
二、题目分析时 理解概念之间的内在联系
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的b2-4ac叫做根的判别式，通常用记号Δ表示，即Δ=b2-4ac。顾名思义，此式能判断一元二次方程是否有实数根存在，有什么样的实数根存在，请看下列定理：如果ax2+bx+c=0是一元二次方程，则：
定理1，Δ＞0方程有两个不等实数根；定理2，Δ=0方程有两个相等实数根；定理3，Δ＜0方程没有实数根；定理4，方程有两个不等实数根Δ＞0；定理5，方程有两个相等实数根Δ＝0；定理6，方程没有实数根Δ＜0。
比较看出：概念之间的明显联系是：定理1,2,3与定理4,5,6是互逆关系。定理1，2，3的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况。定理4，5，6的作用是已知方程根的情况，来确定系数之间的关系，进而求出系数中某些字母的值。理清关系后再通过题目训练加以强化：
例1：不解方程，判别方程5(x2+1)-7x=0根的情况。
分析步骤：
原方程变形为：5x2-7x+5=0——系数代入得：Δ=(-7)2-4×5×5=49-100＜0,——结论：原方程没有实数根。
例2：已知一元二次方程ax2-3x-1=0关于x有实数根，试求a的取值范围。
师生探讨：首先要看清ax2-3x-1=0是一元二次方程，所以有a≠0这一隐含条件，又一元二次方程ax2-3x-1=0有实数根，∴△=b2-4ac=9+4a≥0，解不等式得：a≥-。即a的取值范围是a≥-。
此题如果不确定该方程为二次方程，就要分两种情况来讨论，学生在讨论时不能忘记a=0的情况，所有讨论题要把所有问题考虑周到。知识之间是有区别和联系的，通过比较我们就能弄清问题，加深印象，以至达到灵活运用的程度。
三、综合训练时 强化新学知识的内在联系
知识是在不断更新的，运用知识解答问题更是千变万化，教师要引导学生在浩如烟海的问题中，如何以不变应千变。用根的判别式是用来判断一元二次方程的根的情况，无非那么几种情况，对准具体题目运用相应的概念去解决，只不过在选择时，要把问题考虑全面，不要出现遗漏，要始终不能忘记知识之间是有联系的这一通则。
例3：已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0和x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值；（3）是否存在k的值使方程x2-4x+k=0的两根x1、x2满足+=6？若存在，求出k的值；不存在，说明理由。
师生探讨：（1）根据方程有两个不相等的实数根可得出△＞0，求出k的取值范围即可；（2）由（1）中k的取值范围得出k的最大整数解，代入一元二次方程x2-4x+k=0中求出x的值，再根据两方程有一个相同的根即可求出m的值；（3）根据根与系数的关系得出x1?x2及x1+x2的值，代入所求代数式得出k的值，再看k的值是否满足（1）中k的取值范围就可以了。
综合题一般都是有两到三道小题目组合而成的，但每一道小题之间联系十分紧密，往往上一小题的结果，就是下一小题的的条件，而且小题与小题之间是逐步引深的。
有效的沟通数学知识之间的内在联系，是初中数学教学的重要任务，我们每个初中数学教师在平时的教学中，不能孤立的讲解知识，训练题目，而要认真的剖析每个问题需要哪些相关的知识来解答，知识点之间，各个章节之间区别与联系在哪里，通过不断地探索，使学生掌握的数学知识不断的完整化、系统化。
（作者单位：江苏省邳州市岱山中学）
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