上凸函数的连续性、有界性和可积性

来源:用户上传      作者: 孙兰敏

　　摘 要: 本文根据上凸函数的定义,证明了若f(x)是区间I内的上凸函数,则f(x)在区间I内连续,从而进一步得出结论:若f(x)是区间I内的上凸函数,则对任意的[a,b]?奂I,f(x)在区间[a,b]上有界、可积.并说明了上凸函数的连续性、有界性和可积性.
　　关键词: 上凸函数 下凸函数 连续性 有界性 可积性
　　1.凸函数的定义
　　定义[1]:设f(x)是区间I内的实函数,对任意x,x∈I及λ∈[0,1],
　　若恒有f(λx+(1-λ)x)≥λf(x)+(1-λ)f(x),则称f(x)是区间I内的上凸函数.
　　若恒有f(λx+(1-λ)x)≤λf(x)+(1-λ)f(x),则称f(x)是区间I内的下凸函数.
　　定理1:设f(x)是区间I内的实函数,则f(x)是区间I内的上凸函数的充要条件是-f(x)是区间I内的下凸函数.
　　2.上凸函数的连续性
　　引理[1]:设f(x)是区间I内的上凸函数,则对于I中的任意三点x　　≥≥
　　定理2(上凸函数的连续性):若f(x)是区间I内的上凸函数,则f(x)在区间I内连续.
　　证明:对任意x∈I,取[a,b]?奂I使x∈(a,b)
　　取h≠0并且|h|　　先证明f(x)在x处右连续.
　　取a　　≥和≥成立
　　由上面两个不等式得≥≥
　　即h≥f(x+h)-f(x)≥h
　　由夹逼定理得[f(x+h)-f(x)]=0,即f(x)在x处右连续.
　　再证明f(x)在x处左连续.
　　取a　　和=≥成立
　　由上面两个不等式得≥≥
　　即h≥f(x+h)-f(x)≥h
　　所以[f(x+h)-f(x)]=0,即f(x)在x处左连续.
　　故f(x)在x处连续.
　　由x的任意性知f(x)在I内连续.
　　定理3:若f(x)是区间I内的上凸函数,则对任意的[a,b]?奂I,f(x)在区间[a,b]上有界.
　　定理4:若f(x)是区间I内的上凸函数,则对任意的[a,b]?奂I,f(x)在区间[a,b]上可积.
　　推论1:若f(x)是区间I内的下凸函数,则f(x)在区间I内连续.
　　推论2:若f(x)是区间I内的下凸函数,则对任意的[a,b]?奂I,f(x)在区间[a,b]上有界.
　　推论3:若f(x)是区间I内的下凸函数,则对任意的[a,b]?奂I,f(x)在区间[a,b]上可积.
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