数学概念课教学之我见
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作者: 赵世蓉
摘 要: 数学概念是中学生学习中不易掌握的重要理论,故应着重从概念的形成,概念的理解,学习概念的方法,以及表达数学概念的语言几个方面去理解。
关键词: 中学数学 概念教学 情境创新
概念是思维的基本形式之一,是对一切事物进行判断和推理的基础。因此概念教学是中学数学中至关重要的一项内容,是基础知识和基本技能教学的核心,正确理解概念是学好数学的基础,学好概念是学好数学最重要的一环。一些学生数学之所以差,概念不清往往是最直接的原因,而数学素养差的关键也是在对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异。因此抓好概念教学是提高中学数学教学质量的带有根本性意义的一环。教学过程中如果能够充分考虑到这一因素,抓住有限的概念教学的契机,以提高大多数学生的数学素养是完全可以做到的,同时,数学素养的提高也为学生的各项能力和素质的培养提供了有利条件及必要保障。从平常数学概念的教学实际来看,学生往往会出现两种倾向。其一是有的学生认为基本概念单调乏味,不去重视它,不求甚解,导致概念认识和理解模糊;其二是有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背,而不去真正透彻理解,只有机械的、零碎的认识。这样久而久之,从而严重影响对数学基础知识和基本技能的掌握和运用。比如有同学认为f(x)=x2(x∈[-1,2])是偶函数,有的同学在解题中得到直线的倾斜角为负角,这些错误都是由于学生对概念认识模糊造成的。只有真正掌握了数学基本概念,我们才能把握数学的知识系统,才能有正确、合理、迅速地进行运算、论证和空间想象。从一定意义上说,数学水平的高低,取决于对数学概念掌握程度的高低。那么,教师应如何进行数学概念的教学呢?
一、教学中要强调概念的形成过程。
数学概念是人们在长期的现实生活中对事物进行高度抽象概括的产物,它必须以具体的素材为基础,任何抽象的数学概念和数学命题,甚至抽象的数学思想和数学方法,都有具体的生动的现实原型。因此教师在进行概念教学时,如能通过多种方式创设良好的学习情境,激发学生的学习兴趣,增强学生的自信心和求知欲,使学生觉得这些抽象的数学概念仿佛就在自己的身边,伸手可摸。从而能像数学家那样去“想数学”,“经历”一遍发现、创新的过程。形成了数学直觉,那对概念的本质属性就好掌握了。例如向量的和的概念,教材是这样描述的:“已知向量,在平面内任取一点A,作=,=,则向量叫做与的和.”许多学生想不通,为什么要这样规定?这就是因为数学概念缺乏与实际生活联系而产生的问题。我们可以这样来处理这个概念,先提出问题:“河中水流自西向东每小时20公里,小船自南岸沿正北方向行驶,每小时40公里。问该小船的实际行驶方向及速度的大小。”进而举出如下例子:“如果一个质点由点A位移到点B,又由点B位移到点C,那么从A点到C点的位移就是质点从A到B,再从B到C两次位移的和。”最后得出向量和的定义。
再如,椭圆教学中可要求学生用事先准备的两个小图钉和一长度为定长的细线,将细线的两端固定,用铅笔把细线拉紧,使笔尖在纸上慢慢移动,画得图形为椭圆接着提出问题,思考讨论。椭圆上的点有何特征?当细线的长等于两定点之间的距离时,其轨迹是什么?当细线的长小于两定点之间的距离时,其轨迹是什么?你能给椭圆下一个定义吗?最后老师揭示本质,给出定义。像这样,学生经历了实验、讨论后,对椭圆的定义的实质会掌握得很好,不会出现忽略椭圆定义中的定长应大于两定点之间的距离的错误。这样做,不仅使学生得到了概括能力的训练,还体验到了数学发现的成功,提高了数学学习兴趣。
二、教学中要重视与相关概念比较的方法帮助学生理解概念。
中学数学中有许多概念具有相似的属性,对于这些概念的教学,教师可先引导学生研究已学过的概念属性,然后创设类比发现的问题情境,引导学生去发现,尝试给新概念下定义,这样新的概念容易在原有的认知结构中得以同化与构建。如,在立体几何中异面直线距离的概念,传统的方法是给出异面直线公垂线的概念,然后指出两垂足间的线段长就叫做两条异面直线的距离。教学可以先让学生回顾一下过去学过的有关距离的概念,如两点之间的距离,点到直线的距离,两平行线之间的距离,引导学生思考这些距离有什么特点,发现共同的特点是最短与垂直。然后,启发学生思考:在两条异面直线上是否也存在这样的两点,它们之间的距离是最短的?如果存在,应当有什么特征?于是师生经过共同探索,得出如果这两点的连线段和两条异面直线都垂直,则其长是最短的,并通过实物模型演示确认这样的线段存在,在此基础上,自然地给出异面直线距离的概念。
有些数学概念是已有概念的扩充,若能揭示概念的扩充规律,便可以水到渠成地引入新概念。例如复数概念的教学,我们可以先回顾已经历过的几次数集扩充的事实:正整数→自然数→非负有理数→有理数→实数。然后教师提出以下问题:(1)上述数集扩充的原因及其规律如何?(实际问题的需要使得在已有的数集内有些运算无法进行,数集的扩充过程体现了如下规律:①每次扩充都增加规定了新元素;②在原数集内成立的运算规律,在数集扩充后的更大范围内仍然成立;③扩充后的新数集里能解决原数集不能解决的问题。)有了上述准备后,教师提出问题:负数不能开平方的事实说明实数集不够完善,因而提出将实数集扩充为一个更为完整的数集的必要性。那么,怎样解决这个问题呢?(2)借鉴上述规律,为了扩充实数集,引入新元素i,这样学生对i的引入不会感到疑惑,对复数集概念的建立也不会觉得突然,使学生的思维很自然地步入知识发生和形成的轨道中,加深了对概念的理解。
三、教学中要重视用举例示范和说明的方法帮助学生理解数学概念。
有些数学概念的内涵过于抽象,学生难以理解,这时就需要举一些例子,或是通过附加说明的办法让学生理解。如教材在处理概率中的“基本事件”这一概念时是这样描述的:“一个随机试验连同其中可能出现的每一个结果叫做一个基本事件。”这样的描述在处理简单例子时是非常实用的,但在处理下述例子时,便会发现它的内涵不是十分的清楚。例如,同时投掷两枚硬币,写出所有的基本事件。在此例中,学生难以判断的是:(正,反),(反,正)是一个还是两个基本事件呢?从定义的内涵来看很难说清楚,只有靠教师举例和说明才能让学生正确理解基本事件的内涵。再如我们在进行函数概念教学时,为了让学生认识“任一对唯一”,也是从正反两方面举出例子来进行说明的。但要特别注意,在用举例说明的方法让学生理解概念时,例子一定要举得正确、恰当,否则,不仅不能对概念的理解产生帮助,而且会导致学生对数学概念的认识模糊不清,甚至产生错误。
四、教学中还要注意强调生活语言与数学语言的区别,避免学生误解概念。
用通俗、好懂的语言叙述数学概念,有利于学生接受和自学。这对数学概念的认识有诸多好处,但也会导致数学概念不严密不完备,还有些语言表达的含义和一般语法意义相去甚远,在教学中要加以区分,避免学生误解概念。例如:从6名田径运动员中,选出4人参加4×100米接力赛,如果甲乙都不跑第一棒,那么共有多少种不同的参赛方法?
理解此题的焦点是甲乙是否一定在选出的四人之内。从语法角度讲,甲乙一定都在选出的4人之内,但从数学的角度讲,甲乙不一定在选出的4人之内,这要给学生讲清楚。再如,用1~9九个数字,可以组成多少个没有重复数字,且数字5既不做首位又不做末位的四位数?
四位数中既可以含有数字5,又可以不含有数字5,这就是数学观点的明确解释。
总之,对数学概念的定义,描述要强调通俗,直观,自然,尽量展示其来龙去脉,强调概念的形成过程。有的概念能从问题出发,给出基本事实,实际背景引导学生从中分析,抽象概括出数学概念,让学生有条件去经历再发现、再创造的过程,获得良好的数学训练,使他们真正理解、掌握,并能应用这些概念。另一方面,也遇到一些概念,由于过分强调用生活化语言描述,导致数学概念不严密不完备,内涵表达不明确,外延列得不全面,或是描述得不准确。例子举得不恰当,还有一些语言表达的含义和一般语法意义相去甚远,致使师生误解概念。这就需要我们在教学过程中灵活地处理数学概念,对数学概念的描述,举例,以及定义做一番研究,对数学概念的教学做一番改进,尽量避免不必要的错误,提高概念的教学质量,为学习其他知识和方法奠定良好的基础。
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