马尔科夫链在工程项目风险管理中的应用
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摘要：工程项目因其自身具有的一次性特点使工程项目的不确定性要比其它一些经济活动大，因而风险的可预测性也就差很多。现代社会的经济活动中，风险无处不在。本文通过对土木工程风险特性的研究，把随机过程中的马尔科夫链理论应用到工程项目管理中，进而对工程风险做出比较准确的预测。
关键词：土木工程 ；马尔科夫链；风险管理 ；随机过程
现代社会的经济活动中，风险到处存在，工程项目风险是指在整个工程项目全寿命过程中，自然灾害和各种意外事故的发生而造成的人身伤亡，财产损失和其它经济损失的不确定性。工程项目因其自身具有的一次性特点使工程项目的不确定性要比其它一些经济活动大，因而风险的可预测性也就差很多。所以，为了确保工程项目建设地顺利进行，项目的各个参加方都要积极进行风险管理。
一、对工程项目风险因素分析
工程项目风险管理首先列出对整个工程建设有影响的风险，然后再分析对工程项目有重大影响的风险，确定工程项目的风险范围。按风险产生的原因，可将风险划分为自然风险、社会风险、人为风险等。这里的自然风险指由自然力的作用造成的工程项目风险；社会风险指由于社会治安、宗教信仰等的变化引起的风险，如在国外的投资建设项目由于该国的政权更替而引起的风险；人为风险则包括经济风险、行为风险、技术风险等。
二、对工程项目风险评价
对工程项目风险的评价是对风险的规律性进行研究和量化分析。在实际风险管理过程中，我们通常应用的是层次分析法（AHP）。按照项目风险因素的划分，把工程项目的风险评价划分目标层、准则层和方案层。目标层是项目风险评价；准则层是工程进度、成本和质量；方案层是自然风险、社会风险和人为风险。构造判断矩阵：建立结构层次后，通过对各元素两两比较，构造出判断矩阵。
三、建立基于马尔科夫过程的工程项目的风险评估模型
1、马尔科夫链原理
马尔科夫链是一类重要的随机过程。马尔科夫模型建立的基础是"无后效性"和"平稳性"。设为一随机过程，其状态空间为，不妨设共有个状态。根据的无后效性，可得
（1）
即在时刻的状态的概率分布只和时刻的状态有关，而和以前状态无关。称为从状态到的一步转移概率。
记 （2）
称为一步转移概率矩阵。
用表示预测对象由状态经过次转移至状态的概率，由n步转移概率构成矩阵：
（3）
即称为步转移概率矩阵。其中的元素具有如下性质：
（4）
可以证明，据此递推得
（5）
设系统经过次转移后，处于状态的概为，则称为第个时期的状态向量。向量中元素具有如下性质：
（6）
第0个时期的状态概率称为初始状态概率，相应的向量称为初始状态概率向量。
可以证明，。
上式即为马尔科夫链第期的预测模型。显然，若已知初始状态概率向量 及转移矩阵，则可求出预测对象在任何一时期处于任何一个状态的概率。
2、工程中的马尔科夫链
因为项目风险的每一次的评价结果都只和上一次的项目评估有关，而和以前的评估状态无关。我们一般都是通过对上一次的风险评估的研究来预测下一次风险发生的可能性大小。进而采取相应的措施，使工程项目风险的损失尽可能的减小。且各风险因素的发生是随机的，能够用概率来度量。由此可见，项目风险评估具有马尔科夫性，可看作马尔科夫链。而每次各风险要素的发生就构造出了新的判断矩阵，通过层次分析法的综合分析，就得到了各风险等级的概率分布，据此可有效地预测下一次风险的发生。各风险等级的划分就构成了一个状态空间I。风险等级每一次的评价结果是一个随机变量，从时间序列的角度出发就得到一个随机过程，记为。设对项目的上次评估的状态为，本次风险评估的状态为，按照切普曼-柯尔莫哥洛夫方程，可知，为一步转移概率矩阵。
在工程项目风险研究中，我们主要研究的是从"已知状态"出发，经过若干次转移变化后，项目系统的风险状态是什么，即应用一步转移概率矩阵和步转移概率矩阵，由当前单位时间的风险状态预测未来某个时间的风险状态和概率。即根据
（7）
计算出。
马尔科夫链的遍历性和极限分布：给定马尔科夫链，其状态空间是有限的。如果存在一个正整数，使得步转移概率矩阵 中无零元素，即：。那么，具有遍历性，且极限分布是线性方程组
（8）
满足约束条件：
，且 （9）
的唯一解。
风险评估结果是有限离散的，由极限分布的定义可知当该随机过程具有遍历性时，就一定存在着极限分布（概率分布）。通过求解极限分布我们就能得到各状态最终趋于稳定的概率。
四、马尔科夫链应用实例
运用AHP法对某大型建设项目的风险因素分解，构建马尔科夫风险预测模型。业主开工前邀请相关专家，按照各风险因素对建设项目进度、质量和成本目标的影响，对项目风险因素进行综合评价。评价结果统计如下表所示：表中B1表示"风险能够忽略"；B2表示"风险较小"；B3表示"风险一般"；B4表示"风险很大"；B1，B2，B3，B4构成了状态空间。初始状态概率：。
本次评判等级
一步转移概率矩阵为
由二步转移概率矩阵知，对一切，所以，该马尔科夫链具有遍历性。并且表明，无论从链中的哪一状态出发，都能以正概率经有限次转移，到达预先指定的其它任何一个状态。该马尔科夫链同时也是一个平稳分布。根据（8）、（9）极限分布满足方程组：，即
其中满足约束条件：
，且
可解得该马尔科夫链的极限分布为： 。由结果知，风险状态为"很大"的概率较大，所以在工程项目风险管理中就要注意对可能出现的一般风险采取必要的预防措施，使项目风险造成的损失降到最低，提高工程项目的整体管理，从而保证工程项目产品的质量。
在实际中，重要的是运用AHP法对上一次风险的评价结果，得出风险等级的划分，再结合工程项目风险的马尔科夫性对工程项目下一次风险发生的概率做科学合理的预测，从而按照预测结果作出相应的防护措施，将风险损失降到最小。
参考文献
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