一类带有传输时滞方程的概周期解存在性及其指数稳定性
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摘要：通过研究带有传输时滞及非线性脉冲的双向联想记忆神经网络方程的概周期解存在性及其指数稳定性，运用压缩映射原理、指数二分法以及Gronwall-Bellman定理，将方程进行改进，进而得出使方程存在概周期解的条件，解决这一类微分方程的概周期解的存在性与其指数稳定性的问题。
关键字：记忆神经网络方程、非线性脉冲、概周期解、指数稳定性
概周期函数又称殆周期函数，是周期函数的一种推广，具有某种近似周期性的有界连续函数。概周期函数是在研究周期函数某种性质的基础上进一步提出来的。概周期函数具有指数型二分性法，既从第一近似观点出发，在原点附近的非线性系统 （式中 的特征根的实部不为零），与它的线性部分 有相同的拓扑结构，原因在于后者具有指数型二分性。对于线性部分为变系数的非线性系统 ，当它的线性部分 是概周期系统且其特征指数不为零时，R.J.萨克和塞尔研究了A（t）和其外壳 的性质，得到 具有指数二分性的条件。
本文探讨研究了带有传输时滞和非线性脉冲的双向联想记忆（BAM）的网络方程的概周期解存在性及其指数稳定性。在大量搜集国内外研究常微分方程概周期解存在性及其稳定性的相关文章及著作上，在熟悉不同的常微分方程概周期解存在性及其稳定性的方法基础上，对各种方法进行对比和综合，并且对方法进行适当的改进。在得出改进的方法的基础上，根据神经网络建模得出一个具体带有传输时滞和非线性脉冲的双向联想记忆（BAM）的网络方程，对该方程运用改进的方法包括压缩映射原理、指数二分法以及Gronwall-Bellman定理得出使方程存在概周期解的条件，解决了这一类微分方程的概周期解存在性及其指数稳定性的问题，从而丰富和推广了概周期微分方程的相关结果，同时也是对所研究的带有传输时滞和非线性脉冲的双向联想记忆（BAM）的网络方程的概周期解存在性及其指数稳定性的一种方法的补充。
由常微分方程来直接研究和判断解的性质，是常微分方程定性理论的基本思想。最近，一类双向两层heteroassociative称为双向asso-ciative记忆（BAM）网络或无轴突信号传输延迟已经提出并使用诸如模式识别和自动控制等。考虑指数二分法以及Gronwall-Bellman不等式可以为以下形式：
为了得到及证明我们的结论，我们首先把方程中的变量统一到一些矩阵当中，这样可以极大地方便以后的证明。为了使后面结论的证明更加清晰，我们把命题分解为两个分命题加以证明：
（1） 证明概周期解的存在性及唯一性；
（2） 证明概周期解的指数稳定性。
接下来就是对这两个分命题的证明。由于命题的证明非常复杂以及要用到大量的定理，为了使推理过程中更加具有说服力及严谨性，我们在参考大量论文的基础上，引用了9大定理推论，为之后的证明作好铺垫。
在计算过程中，我们发现计算非常复杂，过程非常麻烦。首先体现在给出的方程中，我们可以看到方程的构成是非常复杂的。其次，后面又要涉及到大量该复杂方程的计算。所以在经过研究思考之后，我们决定引进矩阵来进行简化，即将很多的平行变量放在同一个矩阵里面，使得到的新方程变得简洁对称，整理所得的新方程为：
在给出相关的定理及推论时，这些定理适合的方程具有普遍性，而不是只限定于我们要研究的方程，使得该计算方法更有适用性。此普适方程为：
下面给出命题（1）与命题（2）证明中的关键步骤：
命题（1）：证明概周期解的存在性及唯一性。
如此就可以证明概周期解的存在性及唯一性。
命题（2）：证明概解的指数稳定性。
令
如此就可以证明概周期解的指数稳定性。
综上所述，即可证明概周期解的存在性、唯一性及其指数稳定性。该证明有简单易理解的特点。而所证明的常微分方程概周期函数无论在工程、宇航等自然科学领域还是在经济、金融等社会科学领域，都有着广泛的科学应用。而我们此次研究的带有脉冲和时滞的微分方程在越来越多的领域发挥着重要的作用，包括人口理论，神经网络等，因此研究带有脉冲和时滞的微分方程解的存在性和稳定性可能解决一些具体的实践问题，为今后社会经济建设中相关的生产发展提供理论工具。
参考文献
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