通过数学解题过程培养学生的创造性思维
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作者: 李斌
摘 要 数学解题不仅能检测学生对数学基本知识和基本技能的掌握情况，更重要的是能在训练学生的思维的同时，开发和培养学生的创造性思维能力。
关键词 数学解题过程 创造性思维
中图分类号：G658.2 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）14-0105-02
数学教育作为学校教育的重要内容之一，对学生创造性思维能力的形成和发展起着非常重要的作用，尤其作为数学教育任务的数学解题又是重中之重。数学解题不仅能检测学生对数学基本知识和基本技能的掌握情况，更重要的是能在训练学生的思维的同时，开发和培养学生的创造性思维能力。
一、数学解题对创造性思维的培养
在数学思维活动中，思维的灵活性表现为能对具体的数学问题作出具体分析，善于根据情况的变化，及时调整原有的思维过程与方法，灵活地运用有关的定理、公式、法则，并且思维不具于固定程式或模式，具有较强的应变能力。下面以具体例子来说明数学解题对创造性思维的培养。
例1 已知a≥-3，解关于x的方程
x4-10x3-2（a-11）x2+2（5a+6）x+2a+a2=0
分析：用常规方法解此四次方程比较困难。调整思维方向，发现方程中的最高次数是2，可把主元与次元作一转换，整理出关于x的一元二次方程，这样问题便易于解决了。对于此题的求解，是通过主元与次元的转换，突破了思维定势，体现了思维的灵活性。
数学创造思维活动的整个过程都离不开联想、想象、幻想等科学的想象力，因此，勤于动脑、熟练掌握和运用数学想象的思维方法，往往是实现数学创造的关键。
例2 求经过点A（4，-1）并且与直线2x-y=0相切与点M（1，2）的圆的方程。
分析：解此题的一般思维方法是先设出所求的圆的方程（x-a）2+（y-b）2=r2，再由已知条件列出方程组，然后求出系数a，b，r。这种方法计算繁琐，有些学生会这样分析：点M可以看作点圆（x-1）2+（y-2）2=0，所求的圆即过已知直线和点圆交点的圆，通过这种分析就将问题简单化，充分体现了数学思维的创造性与科学性。
根据上述分析可以利用曲线系的思想和方法求解这个问题。
解析：设所求圆的方程为（x-1）2+（y-2）2+ （2x-y）=0，有点A（4，-1）在所求圆上，所以该点坐标满足圆的方程，代入求得 =-2，即所求圆的方程为（x-1）2+（y-2）2-2（2x-y）=0，即x2+y2-6x-2y+5=0。
点评：这种解法新颖、独特、简便，富于创造性，显然是想象后的创造性思维方式的结果。大量的实践证明，许多命题的发现、思路的相成和方法的创造都可通过数学猜想、归纳而得到，因此数学猜想、归纳是对学生平时培养创造性思维能力的一种方法。
例3 已知f（x）=lg（x2+2x-3m），求（1）函数的定义域为实数集时m的取值范围；（2）函数的值域为实数集时m的取值范围。
分析：若把此例题的两问不放在一起，很多学生就会把它们视为同一个问题来处理，极易出错。事实上，这两问是从不同角度考察二次函数的图像与对数函数的性质，故解答过程截然相反。
解：令t=x2+2x-3m，则
（1）若使原函数的定义域为R，则使△<0即可，解之得m<-；
（2）若使原函数的值域为R，则使△≥0即可，解之得m≥-；
（3）扩大成果。所得到的结论能否推广、引申，得到更为一般的规律和事实。这是数学研究与发展的重要方式，也是数学教学中培养学生发散思维和创新能力的良好途径。
例4 已知三角形的周长为定值，求其面积的最大值。
本例不难求出结果。按发散思维的特性，可对本题作出不同的变化、猜测。
（1）若三角形的面积为定值时，它的周长有最大值吗？
（2）已知直角三角形的周长为定值，求其面积的最大值。
（3）若四边形的周长为定值时，它的面积有最大值吗？
（4）若封闭的平面曲线周长一定时，它的面积有最大值吗？
创造性思维的培养主要是指摆脱旧的思维序列的束缚影响，机智灵活地从一种思维过程转向另一种思维过程。这种思维的灵活性表现为能够根据客观事物的发展与变化，及时调整自己的思路，改变已有的思维过程，寻找新的解决问题的方法。也就是说学生能够从多视角、多维度、多类型看问题、分析问题和解决问题。这一品质可以从课堂反应来体现，如学生的一题多解、一个故事多种结尾等等，也可以通过标准化测验来鉴定。如让学生说出一件事物的用途，说得越多越好，然后对所说出的用途进行整理分类，分类越多，表明思维的灵活性越强；分类不多，只能表明重复性大。
二、数学解题教学中培养学生创造性思维
解题教学中要营造一个和谐、民主的教学环境，教师要做好以下几个方面的工作：
第一，保证学生的心理自由。人本主义心理学认为，只有个体得到充分的心理安全和心理自由，才能充分发挥和发展他的创造力。因为只有心理自由，才有思维自由，个体才能充分进行发散思维，才能表现出创造力。因而，教学中要营造高度民主、轻松活泼、相互理解的教学氛围，这对于活跃学生思维，培养学生质疑反思的能力，有极为重要的意义。
第二，善待学生对问题提出的见解。有一句话说得好，“孩子都是往大人鼓励的方向发展”，学生提出有别于教师的独特想法，是他们现有认知水平的表现，是他们认真思考、勇于探究的结果，教师应该多给学生鼓励和赞美，以激发他们创造思考的动机。更为重要的是，当其他学生看到教师鼓励和重视提出不同见解的同学时，无形中也会激励他们，最后逐渐形成“争先发言”的场面，师生关系也变得融洽、和谐。
第三，训练学生的统摄能力是培养学生创造性思维的保证。思维的统摄能力，即辨证思维能力，是学生创造性思维能力培养与形成的最高层次。在具体教学中，我们一定要引导学生认识到数学作为一门学科，它既是科学的，也是不断变化和发展的，它是从否定、否定之否定的变化发展中筛选出的最经得住考验的东西，努力使学生形成较强的辨证思维能力，也就是说，在数学教学中，我们要密切联系时间、空间等多种可能的条件，将构想的主体与其运动的持续性、顺序性和广延性作为存在形式统一起来作多方探讨，经常性地教育学生思考问题时不能顾此失彼，挂一漏万，要做到“兼权熟计”。这里，特别是在数学解题教学中，我们要教育学生不能单纯的依靠定义、定理，而是吸收另一些习题的启示，拓宽思维的广度，在教学中启发学生逐步完成某个单元、章节或某些解题方法规律的总结，培养学生的思维统摄能力。
（责任编辑 刘 馨）
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