函数迭代

来源:用户上传      作者: 王甲

　　摘 要：新课程实施以来，增加了数学选修课的内容，很多学校也为学生开展了形式多样的选修课，分形几何作为现代数学的一个分支，很多学生甚至大学生也知之甚少，设想在学生学完《矩阵与变换》这一模块以后，通过函数迭代与矩阵这两大工具，让高中学生对分形几何有一个初步的理解。
　　关键词：分析几何；函数；迭代；矩阵；变换
　　一、分形几何和Cantor曲线的性质回顾
　　引入Cantor曲线往往被用于和数学归纳法，数列通项公式等做联系，而事实上Cantor曲线本身也可以和函数迭代做联系，这个问题在以往的文献中很少被提到，本文就此问题做了一些新的探索。
　　我们可以看到Cantor曲线这种分形图形整体和局部具有一定的相似性，这也就是为什么我们把Cantor集叫做自相似集了，从以上一个例子中我们似乎看到了在描述分形图形时，两个非常简单的函数通过迭代居然产生了如此复杂的分形图形，这样就给计算机记录这样的分形图形提供了可能，事实上许多计算机记录原理也的确采取了这样的方法。
　　利用相同的方法我们几乎可以完全地作出Sierpinski毯的迭代函数系统来。
　　四、中学数学课堂教学中的应用
　　教师可以在讲完函数一章或在数学史选讲，数学文化的选修课中，先让学生观看一些分形的图案，让学生从视觉的角度欣赏大自然的魅力，原来我们生活的世界竟然如此色彩缤纷。接着，教师将这些分形图形和学生以前学过的直线、圆、抛物线这些简单图形用幻灯片播放出来，让学生观察这些曲线的不同，分形图形具有自相似性，即整体与局部具有相似性，而一般的曲线没有这样的性质。教师可以告诉学生这些分形图形虽然在有限区间上，但它的长度或面积要么为零，要么为无穷大，这和学生以前学过的曲线有很大不同，这样可以激发学生的好奇心和对新知识的渴望。
　　带着这些问题，教师可以给学生适当介绍一些极限的思想，让学生体会到无限和有限的区别。
　　最后，教师要以Cantor曲线的生成过程为例，向学生介绍函数迭代的作用，一条看似神奇的曲线，竟然是由一个闭区间和两个一次函数迭呆作用后生成的，学生在欣赏数学之神奇时，教师还要告诉学生，如果我们适当的改变区间和函数，可以得到更多的曲线，这些曲线的长度可能为零，也可能不为零。另外，Cantor曲线也与三进制数有关，事实上，Cantor曲线中的数均是闭区间中的数按三进制展开后，不含数码1的所有数，这些数所占有的区间长度为0。
　　五、对中学数学课程的启示
　　在中学数学课程改革中，现代数学的思想正逐步渗透到中学数学教材中，分形几何作为刻画自然界中大量不规则图形的工具，应该进入中学课堂。让学生及早了解分形几何与函数的关系，这对培养学生的创新思维能力是很有帮助的。使学生在学习过程中能了解数学之美，数学之奇，数学之实用。
　　参考文献：
　　[1]王宏勇.中学生应该了解的几何学：分形几何学简介[J].中学数学教学，2005（3）.
　　[2]史炳星.把分形几何带进中学生的课堂[J].数学通报，2000（3）.
　　（作者单位 福建省厦门集美中学）
转载注明来源:https://www.xzbu.com/9/view-6658223.htm