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关于凸函数教学的探讨

来源:用户上传      作者: 韩亚洲 王雪健

  摘 要: 凸函数的性质和应用一直都是是分析教学的重点和难点,它在分析学中有着广泛的应用,因此由浅入深地系统学习凸函数的性质是很有必要的.
  关键词: 凸函数 实变函数 不等式
  凸函数是一类非常重要的函数,它在凸分析,数理经济学,最优控制,函数论等学科中都有广泛的应用.另外凸函数的性质也是数学分析和实变函数中证明不等式的一个常用工具,它可以使不等式的证明更简单,思路更清晰.
  凸函数的定义和基本性质在很多数学分析,高等数学,泛函分析,实变函数的教材中都有介绍.在不同版本的教材及参考书中,其定义形式区别也很大,条件有强有弱,彼此之间又密切相关.在多数教材中对凸函数的性质没有系统的介绍,这使得大多数学生对凸函数的认识只停留在最初的阶段,以至于学生对凸函数的认识不够深刻,不能灵活应用凸函数的性质处理问题.本文在凸函数的定义出发从一个方面由浅入深地介绍了凸函数的一些基本性质和等价定义.另外我们也期望通过对些性质的学习能使大家对凸函数的认识更深刻.
  在介绍凸函数定义之前让我们先回忆一下凸集的定义.设E为线性空间X中的子集,若对于任意的x,y∈E和0≤λ≤1有λx+(1-λ)y∈E,则称E为凸集.
  定义1[1].设f(x)为定义在凸集E上的函数,若对I上任意x,y∈E和实数0≤λ≤1,总有
  参考文献:
  [1]匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京:高等教育出版社,2002.
  [2]欧阳光中,朱学炎,金福临,等.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2007,第3版.
  [3]周民强.实变函数[M].北京:北京大学出版社,2008,第2版.
  [4]李逊.关于函数凸性的教学探讨[J].华中师范大学学报(自然科学版),1985,2:141-146.
  基金项目:新疆大学大学生创新项目XJU-SRT-14048。
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