在探究中感悟知识的本质和联系
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作者: 洪侃
【关键词】数轴;直观;探究;本质;因数和倍数
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）21-0064-02
【教学内容】人教版五下《因数和倍数》第一课时。
【教学目标】
1.通过整除（整数乘法）算式，认识因数和倍数，掌握因数和倍数的概念，并能初步理解因数和倍数相互依存的关系。（实现“双基”）
2.在探寻一个数的因数和倍数的过程中，总结出一种“不重复、不遗漏”的方法，经历从无序到有序的思考过程，感悟有序思考以及数学知识之间存在联系的思想。（上升为“四基”）
【教学片段1】
师：四人小组合作，找出4、8、9、18、23、24的因数，并标在数轴上。同时把算式中的两个因数用线连起来。
师：从数轴图中，你能发现有关“一个数的因数”的一些特点吗？
学生主要有以下发现：（1）在每一个数的因数中都有1和它自己，也就是说一个数的因数至少有2个。（2）一个数的因数，最小的都是1，最大的都是它自己。（3）大部分数的因数都是“成双成对”的。（4）一个数的因数，除了它自己以外，其他因数都不超过它的一半。
质疑与补充：
生1：什么时候因数都是一对一对出现的？什么时候会有单个的？
生2：原来的数为双数时，因数都一对一对出现;原来的数是单数时，会有单个因数出现。
生3：要把“4”排除，因为2×2=4。
生4（针对第4点）：当这个数是双数时，数轴正中间的那个数就是因数，等于原数的一半;是单数时，数轴正中间是小数“几点5”，除了原数以外都比它的一半要小。
师：所有整数（0除外）的因数都至少有2个――1和它本身，会有例外吗？
生5：如果这个数是1的话，就只有1这一个因数了。
师：看来“1”还真挺特殊的。是不是一个数越大，它的因数的个数就越多呢？
生6：不是。8的因数就比9的因数多。
【教学片段2】
师：刚才我们已经在数轴上找出了4的因数，请大家继续在原来的数轴上试着把4的倍数标在相应的位置，看看会有什么发现。
生1：我看到4最大的因数和最小的倍数都是它自己。
生2：我发现倍数是接着因数继续下去的。倍数是写不完的。
生3：因数的终点就是倍数的起点。
师：我为你的发言“点赞”，很生动。不过可以更完整一些――一个数的因数的终点也就是它的倍数的起点。
生4：我有补充，一个数的因数是有起点（1）和终点（它自己）的;而这个数的倍数只有起点（也是它自己）而没有终点，是写不完的。
师：有起点也有终点，让我们联想到了什么数学知识？有起点而没有终点呢？
生：有始有终――线段;有始无终――射线。
师：看来数学知识之间、数与图形之间有着很美妙的联系，等着我们去思考、去发现呢！
【教后反思】
本课的教学，仅仅让学生知道因数和倍数的含义是不够的。引导学生在此基础上经历找因数和倍数的数学活动过程，进而探索得到一些有关因数和倍数的内涵知识才是本课的重难点。如何教学这些既定的数学事实，在突破教学重难点的同时避免死记硬背呢？当这里的数学知识较难有合适的具体情境作为结合点时，是否能用数学化的情境帮助学生感悟和发现数学规律或事实，促进他们以探索的方式主动获得数学知识呢？
小学生在学习抽象的“数”概念时需要有“形”作为支撑，辅助其进行表象操作和思考，“数”与“形”在此时尤其显得相辅相成。在当前学段中，一个数的因数与倍数可以说是一些按照一定规律连续存在的整数集合，它们都能在数轴上找到相应的位置，因此，数轴的出现达到了将抽象的“数”直观形象化的目的。除此之外，笔者觉得在此处引入数轴还有以下几点作用：
1.有序思考更直观。
在寻找一个数的因数时，学生通常用写整数乘法算式或者整除算式的方法，这一探究过程往往是从一开始的无序状态（或有遗漏或有重复）慢慢感悟到有序思考的重要性。出现数轴之后，学生在数轴上把因数一一标出来，这样学生的思维就出现了质的变化。笔者发现，大部分学生借用数轴标记因数都有意识地进行了“配对”，正如“教学片段1”中学生所说――大部分数的因数都是“成双成对”的。这样做，能让学生从最外围的“1×几”一圈一圈地往里层缩小，寻找范围，直到“最中心”的两个数为止。数轴的介入，不仅让学生更直观地感悟到有序思考的价值，而且降低了大部分学生的思维活动难度。
2.理解知识更深刻。
如前文所述，本课应在达成“双基”目标――“掌握因数和倍数的概念，并能初步理解因数和倍数相互依存的关系”的基础上，继续引导学生经历探究数学知识的过程，感悟数学思想方法。而引入数轴，让学生的探究活动建立在可操作和讨论的基础之上，有助于他们对因数和倍数的知识有整体性的观察。
以往我们教学因数与倍数时，包括课本都是分两个例题让学生感悟它们各自的特征及其相互间的联系。但因数和倍数同时出现在一条数轴上，学生更容易站在“高处”整体地观察两者间的联系和区别。与此同时，有了“形”的支撑，学生的创新思维被大大激发，质疑、猜想、交流、总结……这就是一个很好的探究性学习过程，学生在主动探究的过程中产生了自己的思想和理解，尽管有些可能“不正规”，但学生对知识的理解更深刻了。
3.发展能力更多元。
同化是一种基本的认知方式，学生学习的新知识若与原有知识有适当的联系，他们就会把新知识纳入原有的认知结构中，在扩大原有认知结构的同时，新旧知识之间也就产生了某种联结。这种新的联结的建立，不仅有利于知识的提取，也有利于学生思维水平的提升。
因数“有始有终”和倍数“有始无终”的特征，让学生与原有的线段和射线的特征产生了联结，并借助射线无限延伸的特征来体会倍数个数的无限性，感悟极限。这种“数”与“形”的联结还有利于锻炼学生的右脑，提高学生的直观记忆水平，学生的记忆容量和速度将得到大幅度的提升。
（作者单位：浙江省绍兴市越城区陆游小学）
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