反思与实践同行
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一
“圆的认识”，这是小学里常被老师选作公开课执教的教学内容。从各类报刊或网络中，我们可以搜索到近百份关于这一节课的教学设计。如何教学“半径、直径”这两个概念，在设计教学方案前我思考了3个问题。
第一：成人头脑中建构的“半径、直径”概念是什么?对教学有什么启示?反思我们成人头脑中建构的概念，也许对我们的教学不无启发。
第二：学生现在在哪里?学生应走向哪里?这两个问题是关于学生学习起点的确定、课堂教学目标的拟定。
第三：传统教学设计的特点是什么?教学时有哪些不足?
二
课堂教学时，我在学生初步会用圆规画圆之后，组织学生将圆规两脚之间的距离确定为3厘米，并在纸上画下这个圆，认识了圆心。后继课堂教学实录如下：
师：我们已经找到了圆心。如果问你，这是一个多大的圆?那怎么说?
(问题的设计，引导学生用自己的语言表述。学生从他们已有的认知出发，应该能说出“半径”或“直径”这两个词来。至于学生先说“半径”还是“直径”，我想这里无先后顺序之区别，跟随学生的发言相机处理。)
生：量它的直径就知道了。
师：他刚才说了一个词，是――
生：直径。
(教师板书：直径。)
师：那什么叫直径呢?
生：从一个点向中心引一条直线。
生：从一个边缘画到它的对面。
生：把圆对折形成的一条线。
师：看来，现在让我们用语言来表述什么是直径，不容易说清楚。如果用笔画，大家能画出来吗?大家试一试，在圆里画一条直径。
学生试画直径。
师：谁愿意到前面来展示一下你画的直径?
一位学生展示画的直径，并作介绍：从圆的一端到另一端，而且通过圆心。
师：直径是一条――
生：直线?……线段!
(当学生说出“直径是一条直线”时，我选择了沉默、等待，片刻的停顿，引发学生大脑内部发生认知冲突，继而在他们自己意识到错误的基础上改变自己的想法，重建观念。教师追问，促进学生对“直径是线段”的理解更为深刻。)
师：为什么不说是直线呢?
生：直线是无限长的，而线段的长度是有限的。
师：直径是线段。我们来找一找它的两个端点在哪儿?一个端点在――圆上，另一个端点――也在圆上，而且――通过圆心。
师：你知道这条直径长多少吗?
生：6厘米。
师：是不是呢?大家用直尺量一量。
学生操作。
师：这是一个直径为――6厘米的圆。这个圆多大呀?还可以怎么说呢?
生：这是一个半径为3厘米的圆。
师：他的发言中说了一个词――半径。大家能画一条半径吗?
学生操作画半径，并展示、介绍所画的半径。
师：半径是一条――线段，它的一端在――圆心，另一端在圆上。这条半径长多少?你是怎么知道的?
生：6除以2等于3，半径的长是直径的一半。
生：我用尺量，半径是3厘米。
(由于“直径”的教学处理较为详细，这里教学“半径”的处理与教学“直径”大致相同。学生具有学习“直径”的经验支持，比较顺畅地建构了对“半径”的理解。)
师：谢谢你的动手操作，验证了刚才一位同学发言中谈到的半径与直径长度之间的关系。我们动手、动口、动脑，认识了圆的――圆心、半径、直径。接下来，我们搞一个小比赛。请大家拿好铅笔、直尺，同桌中左边的同学画半径，右边的同学画直径，在相同的时间内，比一比，看谁画得多!准备好了吗?开始!
学生画直径、半径。大约40秒钟后教师叫“停”。学生汇报：画半径的最多画了11条；画直径的，最多画了7条。
师：谁快呀?
生：直径。
生：半径。
生：两条半径才能等于一条直径，就是说，他最多画了7条直径，把它化为半径的话，应该乘以2，那就有14条半径了。那画半径的只画了11条，差了3条。
师：你的意思我明白了。就是他画了7条直径，一条直径可以看作两条半径，那如果算半径的话，就画了14条。是画直径的赢了，对吗?
生：对!
(原先设想是比赛结果视课堂教学实际情形而定，谁输谁赢是次要的．关键是引导学生借助这一活动领悟圆的半径和直径有无数条。实际教学时，好胜的学生“纠缠”于画直径的“赢”了，但他的解释却带来了意外的收获。学生不仅体会到半径和直径有无数条，还巩固了半径和直径的属性、位置的认识。)
师：这样的想法有道理，很有意思。谁赢谁输不太重要，大家有没有回头反思一下，如果没有时间限制，你能画多少条半径?直径呢?
生：无数条。
师：那也就是说，一个圆的半径有多少条?直径呢?
生：无数条。
师：它们的长度呢?
生：分别相等。
(以上游戏活动，重在让学生通过体悟初步建立“难以言说、只能意会”的无限观念，并通过反思，实现“自反抽象”。)
三
从以上课堂教学片断的实录可以看出，在教师的组织、引导下，学生用“自己的理解”建立对半径、直径的认识。教学效果如何呢?在上完这节课后，我组织全班学生各自独立完成了一份练习：
1．用自己的语言描述半径、直径。
2．画图。
(1)用圆规画一个半径为2厘米的圆，并用字母O、r分别标出它的圆心、半径。
(2)用圆规画一个直径为3厘米的圆，并用字母O、d分别标出它的圆心、直径。
3．判断。
(1)从圆心到圆上任意一点的距离都相等。( )
(2)两端都在圆上的线段，叫做直径。( )
(3)画一个直径为4厘米的圆，圆规两脚间的距离应是4厘米。( )
(4)直径3厘米的圆比半径2厘米的圆大。( )
学生练习完成情况如下表：
由以上练习后的统计可以看出：这节课的教学效果比较好。一节课的教学效果如何，影响着我的教学实验性探索的信心。说实话，做教师，头脑中总是给自己绷紧着一根弦：教学实验、教学探索，不能以牺牲教学质量为代价。
就此，引发我对概念教学的两点思考。
思考之一：小学生获得怎样的数学概念?
由前面的分析与实践可见，小学生获得的不是那几句条文式的数学定义，而是丰富的、鲜活的数学概念意象。在概念学习中，学生仅凭单纯机械记忆概念的形式定义是不行的。
心理学的现代研究表明：数学概念的心理表征在大多数情况下并非是相应的形式定义，而是一种由多种成分组成的复合物；而且，与形式定义的各个明显特征，如明确性、一义性、不变性、抽象性等相比，人们关于数学概念的心理表征又具有一些不同的特征。正因为此，人们提出要明确区分“概念定义”与“概念意象”。
所谓“概念意象”，就是指与所说的概念直接相联 系的各种心理成分的总和，包括相应的心智图像、对其性质及相关过程的记忆等。
数学教学，就是对概念的认识不断完善的过程，教师和学生通过不断地构建，寻求达成一致，而这种一致又是建立在丰富的概念意象的基础之上，即实现概念意象与概念定义的整合。形式定义由于概念意象的补充而变得丰富和生动起来，从而就不再是一种空洞的定义。学生对概念形式定义的理解要以概念意象作支撑，概念意象的建立要把握概念定义中的本质属性，所获得的概念定义做到严密性与描述性统一，表现为学生能用自己的数学理解表述概念。
思考之二：小学生怎样获得数学概念?
已有的研究表明，小学生数学概念的获得有两种方式：概念的形成和同化。概念的形成是指学生依靠直接经验，从大量的具体例子出发，以感觉、知觉和表象为基础，通过分析综合、抽象概括，从个别到一般，从具体到抽象，逐步地把握一类事物的本质。而当学生学习新概念时，利用认知结构中已有的概念与新概念建立联系，从而掌握新概念的本质属性，这种获得概念的方法称作“概念的同化”。一般地说，低年级儿童在学习数学概念时，“概念的形成”用得多一些。
由以上教学案例可以探析学生数学概念获得的机制。一些数学概念的建构过程，可被看作是相关朴素观念的澄清过程，即学生对教学前概念向概念改造、提升的过程。所谓教学前概念，就是指学生在教学新概念之前就已持有的概念。学生的这些教学前概念包括了对一些数学问题和现象的自己的看法和理解。他们在自己已有的知识经验基础之上，通过与他人的交流活动，澄清自己模糊混沌的认识。教师在课堂教学过程中要以对话的方式，即时了解对学生来说哪些是“教学前概念”，哪些是新学概念，以及这些概念之间是什么关系，且相关到什么程度。特别对教师来说，要“悬置”对学生已有认识的判断，即不要主观臆断学生已经知道了什么。尽管课前可对此作预设与估计，但那是一种假设，教师必须依照课堂教学中实际发生的情形适时调整自己的“想法”。继而，教师要引导学生用清晰的语言来说明或描述“教学前概念”与“新概念”之间的关系。这一过程，即是教师促进学生对概念建立和理解的过程。
思考，有时是定向的、专题性的，有时又是漫游式的、难以预设的。我在以上对概念教学专题思考的过程中又萌发、生成了以下的思考。
思考之三：如何认识数学概念教学中“文化继承”与“自主建构”之间的关系?
本课教学中所展现的学生在课前通过各种途径获得了有关半径、直径的认识也应被视为文化继承的行为，只是这样的文化继承行为不是由教师有意识、有组织地进行的。课堂教学中，通过有计划、有组织的行动，完善、提升学生的认识，高效率、有质量地完成“文化继承”。而这样的文化继承，又必须通过学生自主的意义建构而得以实现。学生对概念的建构过程，主要是一个“意义赋予”的过程，也即将新的概念或结论纳入到学习者已有的认知框架之中。学习，是文化继承行为，学生的学习生活具有社会性质，学习活动主要是通过个体间的互动得以实现的，而并非是纯粹的个人行为，是一个在不同的个体之间(包括学生与学生之间、学生与教师之间)进行表述、交流、批评与反思以及不断改进的过程。由此，我们可把握文化继承与自主建构之间的关系。文化继承，通过学生的自主建构得以实现，而自主建构将文化继承提升到更高水平、更高层次。
(作者简介：贲友林，男，1973年生，大学学历，教龄15年，小学高级教师，南京师范大学附属小学)
责任编辑：王伟
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