通过数学教学培养学生分析问题与解决问题的能力
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〔关键词〕 数学教学;学生;能力;培养
〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004―0463(2009)12(B)―0039―02
1.夯实基础
对于基本概念、公式、定理以及推论要求学生熟练掌握,特别是公式、定理、推论的理论推导与证明方法要求学生理解、掌握,同时还要学生通过分析课本中的例题掌握解题的方法,并要求学生对习题中的解法进行提炼、归纳,掌握这类题的解题模式.
2.培养学生分析问题的能力
学生不会解题的主要原因是:由于学生没有正确理解题意,不会运用已有知识去分析、解决实际问题.为此,在教学中,教师应引导学生从已知入手,结合所学知识与已知条件得到新的条件,再由新的条件结合已知条件得出结论或者由结论出发分析结论成立要满足的条件,再由该条件得出已知条件.
例1已知A,B,C是平面上的三点,其坐标分别为 A(1,2) , B(4,1) , C(0,-1),则△ABC的形状为()
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 不确定
解析: ∵ =(3,-1) ,=(-1,-3),
∴ ||=||=, ∴△ABC为等腰三角形 .
又∵•=3×(-1)+(-1)×(-3)=0,∴ AB⊥AC.
∴△ABC是等腰直角三角形.
说明:判断三角形的形状,一般从角、边两个方面考虑解答,故多数学生想到用两点间的距离公式计算△ABC三边的长来判断△ABC的形状,此过程较为繁琐,容易出错.此时,教师要引导学生多角度、多方位考虑问题,从而得出可以用向量的知识来解答.这样教学,不仅可以培养学生分析问题的能力,还可以培养学生的发散思维.
3.培养学生运用知识解决问题的能力
例2求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值.
分析:首先使用降幂公式,然后利用和差化积与积化和差公式进行恒等变形,化简求值,这是解答此类题的常见方法.本题也可以利用构造法,构造三角形,利用正、余弦定理解答.下面用后一种方法来解答该题.
解:构造△ABC,使得A=20°, B=10°, C=150°,设△ABC的外接圆半径为R,a、b、c分别为A、B、C所对应的边,由正弦定理可得a=2Rsin20°,b=2Rsin10°,c=2Rsin150°=R,
∵c2=a2+b2-2abcosC,
∴ R2=4R2sin220°+4R2sin210°-8R2sin20°sin10°cos150°,
整理得sin220°+cos280°+sin20°cos80°=.
说明:三角函数的化简,通常是通过观察角与角之间的联系,利用三角基本关系式、诱导公式、正余弦定理化简求值.
例3 在△ABC中A、B、C的对边分别为a、b、c,其中c边最长,并且sin2A+sin2B=1 .
(1)求证:△ABC为直角三角形;
(2)当c=1时,求△ABC面积的最大值.
分析:此题可由sin2A+sin2B=1 联想到关系式 sin2?琢+cos2?琢=1,故得到(1)的证明思路.当c=1时,可由a2+b2=c2=1,S=ab 联系均值不等式解之或设a=sin?琢,b=cos?琢 ,再利用三角函数求最值.
(1)证明:∵ c边最长,
∴ A、B均为锐角.
由sin2A+sin2B=1得sin2A=cos2B,
∵ sinA、cosB均为正数,
∴ sinA=cosB.
∴ sinA=sin(-B).
又A、(-B)∈(0,),
∴ A=-B , ∴ A+B=,
∴ △ABC为直角三角形.
(2)解法一:
∵ S△ABC=ab=×2ab≤(a2+b2),a2+b2=c2=1,
∴ S≤,当且仅当a=b=时,S取得最大值.
解法二:
∵ a2+b2=1,故令a=sin?琢,b=cos?琢,
∴ S=ab=sin?琢cos?琢=sin2?琢,
又∵0 ∴ S≤,当且仅当?琢=时,即 a=b=时, S取得最大值.
说明:本题可以通过已学过的特殊式子,让学生进行联想,充分利用已有知识,进而培养学生利用所学知识解决问题的能力.
4.培养学生的探究能力
例4设f(x)=,求f()+f()+……+f()的值.
分析:直接求解,无处下手.这时就需要教师引导学生发散思维,发现知识之间的内在联系,由结论的数量特征:+=1,+=1……联想到探究函数f(x)=的结构特点,进而得到解题思路.
解: ∵ f(a)+f(1-a)=+=+=+=1,
∴ f()+f()+……+f()
=[f()+f()]+[f()+f()]+……+[f()+f()]
=1+1+……+1=×2008=1004.
例5已知a、b为实数,求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值.
解法一:
∵ y=(x-a)2+(x-b)2=2x2-2(a+b)x+a2+b2=2(x-)2+(a-b)2 ,
∴当x=时,ymin=(a-b)2 .
解法二:
∵ a2+b2≥2ab,
∴ 2(a2+b2)≥(a+b)2, ∴a2+b2≥(a+b)2,
∴ (x-a)2+(x-b)2≥[(x-a)+(b-x)]2=(a-b)2.
当且仅当x-a=b-x时,即当x=时,
ymin=(a-b)2.
解法三:
设A(a,b),M(x,x)是直线x-y=0上的动点,则
|MA|2=(x-a)2+(x-b)2≥()2=(a-b)2,
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