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§3.2基本不等式与最大(小)值

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  【教学分析】
  本节标题明确,说明了基本不等式的作用,从高考看,基本不等式是一个热点,它在不等式证明和求最值过程中有着广范的应用,是一个有效的工具。
  【三维目标】
  (2)能力目标:通过类比,直觉,发散等探索性思维的培养,激发学生的学习兴趣,进一步培养学生的解题能力,创新能力和勇于探索的精神。
  (3)情感目标:通过实例的引入及实际问题的探究,使学生认识到数学知识来自实践并服务于实践,增强学生的应用意识,进一步培养学生的联系的观点。
  【教学重难点】
  教学难点:用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题。
  【教学过程】
  一、课题引入
  回忆基本不等式及满足条件,并总结前面的不等式的应用:比较大小和证明不等式,从而引入本节课题,先看引例:
  用一根铁丝围成一个面积为9的矩形框,问:怎么围所用铁丝最少?
  师:引导学生建立函数模型。
  生:互相讨论。
  生:用二次不等式求最值。
  师:这是个好方法,但在探索中发现比较麻烦,有没有更好的方法?
  生:用刚刚学习的基本不等式。
  所以围成一个边长为3的正方形,所用铁丝最少。
  小结:由此可见基本不等式还可以用来求函数的最值。
  二、问题探究
  问题1:用基本不等式求函数最值必须满足什么条件?是不是只要求最值就可以用基本不等式?
  通过具体例子总结一般规律。
  讨论:以下函数能否直接由基本不等式求最值?
  讨论结果:(1)不为正,不能用。(2)不是定值,不能用。(3)等号取不上,不能用。
  总结归纳:用基本不等式求最值必须满足以下条件:
  (1)必须保证为正数;(2)两部分的乘积必须为定值;(3)等号必须成立。
  再回头看引例:满足“正”“定”“等”三个条件。
  另解:设一边为x,另一边y,周长为c
  抽象概括:设x,y为正数
  即:积定和最小。
  练习:
  点评:在分析以上例子时,时刻提醒学生如何用上面的结论,怎么去看“正”“定”“等”三个条件。
  下面通过基本不等式再解释“积定和最小”。
  学生发现:若a+b为定值,ab有最大值
  抽象概括:设x,y为正数
  即:和定积最大
  方法一:利用二次函数求解
  方法二:老师点拨,引导学生利用基本不等式“和定积最大”的结论去求解
  教学意图:主要想通过该例题让学生体会一下这一用法,同时再次巩固用基本不等式求最值的条件“一正,二定,三相等”。
  教学意图:通过变式训练让学生体会到凑定值的过程。
  三、课堂小结
  本节课重点介绍了如何利用基本不等式求最值的问题,得到两个重要的解:
  设x,y为正数
  这两个结论一定要理解并会用它。
  作业:课本第94页1、2题。
  作者简介:张慧,女,1982年11月生,本科,就职于陕西省西安中学,研究方向为数学教育。
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