知其然，更要知其所以然

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　　【摘要】在北师大版教材中，有很多内容需要用表格来解决问题。这些表格有些是书本上本来就有的，有些是老师为了帮助学生问题解决而自行设计的。随着对新课标理念理解的深入，笔者发现老师用表格解决问题的过程中存在各种各样的问题：只关注表格的填写，忽视对表格的理解，只关注表格的应用，忽视对表格的体验，过分强调表格，忽略甚至否定其它方式，影响了利用表格解决问题的有效性。本文旨在通过具体的教学案例对存在问题进行分析，同时提出解决的办法，以提高利用表格解决问题的有效性。
　　【关键词】列表格；内涵；必要性；优越性
　　“获得分析问题与解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样的多样性，发展创新意识”是《数学课程标准（2011年版）》确定的课程目标之一。为了有效落实这一目标，北师大版教版教材在第一学段与第二学段均在解决问题的策略方面安排了相应的内容，让学生掌握画图、列表、尝试与猜测、从特例中寻找规律等解决问题的策略，这些内容成为北师大版教版教材的一个亮点。在用表格解决问题的课堂中使用的表格有些是书本上本来就有的，有些是老师为了帮助学生问题解决而自行设计的。随着对新课标理念的理解的深入，笔者发现了老师在用表格解决问题的课堂中存在各种各样的问题，影响了利用表格解决问题的有效性。主要存在的问题包括以下三点，下面笔者结合具体的教学片段进行说明。
　　一、只关注表格的填写，忽视对表格的理解
　　教学片段一：《长方体的体积》
　　（课件演示：长、宽、高分别都有一个条件改变，两个条件不变，长方体体积的大小发生改变）
　　师：从上面的演示，我们知道了长方体的体积与什么有关？
　　生：与长方体的长、宽、高有关
　　师：请同学们大胆猜想一下，长方体的体积与长方体的长、宽、高有什么关系？
　　生：长方体的体积=长×宽×高
　　师：想知道猜想的结果对不对，我们就要验证了，请同学们分小组动手摆出几个不同长方体，观察每个长方体的长宽高分别是多少？体积是多少？填好以下表格。
　　（让学生打开书本填写好书本表格）
　　学生根据老师的要求，分小组摆出不同的长方形，记录长方体长、宽、高的数量，再观察表格利用数据发现，很快就得到结论：长方体的体积=长×宽×高。看起来行云流水般的一节课，但是仔细推敲一下，就会发现以下问题：1.为什么要摆几个长方体？2.为什么要数出有几个小正方体？3.表格为什么这样设计呢？每一步的用意何在？4.长方体的体积是数出来的还是算出来的……学生填写表格困难不大，但是学生只是知道怎么做，却不理解为什么要这样做。这是典型的数学中的“会而不懂”的现象。
　　二、只关注表格的应用，忽视对表格的体验
　　教学片段二：《谁先走》
　　师：用抛瓶盖决定谁先走，这个游戏规则公平吗？
　　生1：公平，因为盖面朝上的可能性与盖面朝下的可能性都是只有一种，可能性相等
　　生2：不公平，因为盖子一面重一些，一面轻一些。
　　生3：公平，抛瓶盖类似于抛硬币，公平
　　师：要知道抛瓶盖决定谁先走这种游戏规则是否公平，我们可以怎么做？
　　生：动手抛一抛。
　　师：对的，实验出真知，我们就抛一抛瓶盖，请各小组按照活动要求抛一抛，把数据记录下来，并把数据填到汇总表。
　　各小组根据活动要求开展活动，并填写好汇总表，电脑自动汇总数据，学生通过观察数据得到结论：盖面朝上的可能性小，盖面朝下的可能性大，这种游戏规则是不公平的。这个表格书本上是没有的，是教师为了帮助学生理解而自行设计的，目的是让学生利用更多的数据来得到结论，避免个别组的结果因为偶然性使结论产生偏差。只是，对于这个突然出示的汇总表，学生往往不会去思考目的与意义何在，学生只会按老师的指示去完成。这样又是一个典型的“会而不懂”的现象。
　　三、过分强调表格，忽略甚至否定其它方式
　　教学片段三：《尝试与猜测》
　　（教师出示题目：鸡兔同笼，有8个头，26条腿，请问鸡兔各有几只？）
　　师：鸡有几只，兔有几只？你是怎样想的？
　　生：我是这样想的：当鸡为8只，兔为0只的时候，腿数为16；当鸡的只数为7只，兔为1只的时候，腿为18，依次类推，当鸡为3只，兔为5只的时候，腿就刚好是26。
　　师：如果我们把这位同学都想法填在表格上，你有什么感受？
　　（教师出示表格，把学生的汇报填写在表格里，让学生观察）
　　生：很整齐，很有条理。
　　师：我们的书本就是用列表格来解决这类问题，我们今天就学习用表格解决尝试与猜测的问题。
　　教师出示问题情境后直接让学生用列表策略解决，而不关心学生是否产生学习这种策略的内需。教材选择列表整理是因为它易于操作，便于学生运用。学生是生动活泼的，富有个性的。教师要尊重学生的选择，让大多数学生能采用适合自己的方式整理信息，在介绍列表格解决问题时，要突出列表格的优势，让学生自觉产生选择这种方法的需要，而不宜过分强调列表整理信息，忽略甚至否定其他整理形式。
　　列表格解决问题是解决数学问题的一种策略，它可以很好的帮助学生整理信息，发现规律，而且能做到不重复，不遗漏，对培养学生有序思考问题提供一种很好的数学模型。但是在实际教学中往往会只关注表格的填写、使用，忽略了对表格的理解与体验，往往造成学生“会而不懂”如何用好这种策略，针对以上常见的问题，笔者对以上三个教学片段加以改进来说明：
　　四、书本呈现的表格，一定要让学生理解表格的内涵
　　教学片段一改进：
　　（电脑演示一个长方体，由三个小正方体组成）
　　師：同学们，你能摆出一个体积更大的长方体吗？摆完后说一说你是怎样做到的？ 　　生：我是在原来的长方体上面增加一行，长方体的长、宽没有改变，高增加了，体积也增加了。
　　生2：我是在原来的长方体后面增加一行，长方体的长、高没有改变，宽增加了，体积也增加了。
　　生3：我是在原来的长方体左边面增加一个小正方体，长方体的宽、高没有改变，长增加了，体积也增加了。
　　师：长方体的体积可能跟什么有关？有什么关系？谁愿意大胆的猜一下。
　　生：我觉得长方体的体积与长方体的长宽高有关，长方体的体积=长×宽×高
　　师：你们都认为这样吗？你们准备怎样验证，请在小组内制定出验证的方案。
　　（学生分组讨论，得到共识后汇报）
　　生：我们这一小组认为需要动手摆出更多的长方体，然后记录每个长方体的长、宽、高，数一数长方体的体积，看看体积是否等于长乘宽乘高就可以了。
　　生：我们小组的方法也基本相同。但是要多摆几个长方体进行比较，数据多一点会更有说服力。
　　师：你的回答总是那么精彩。你们觉得这种方法可行吗？
　　生：可行。
　　师：那也就是说我们要做的就是摆长方体，记录长宽高的数据，数一数每个长方体的体积，并利用得到的数据计算长方体的体积，检验一下是否与数正方体个数得到的体积一致？
　　（教师一边说，一遍利用多媒体呈现表格）
　　师：只是摆一个够不够？
　　生：不够，要多摆几个看看是不是每一个长方体都是这样。
　　师：我欣赏这样的态度，任何科学的验证都不可能一次就得到结论，所有要多摆几个。
　　教师一边说，一遍利用多媒体呈现表格：
　　以上教学片段，老师没有让学生马上动手实践、填表，而是让学生分组讨论出验证的方案。在学生汇报方法时，教师提取出关键词：摆——记录——数——计算，根据关键词呈现出相应的表格。教师就这样不着痕迹的引导学生经历了表格形成的过程。学生真正明白了表格的每一步设计的用意，感受到这个表格对解决问题的重要性，从而会形成对表格解决问题策略的真正理解。遇到相关问题时，学生不但可以填表格，还要理解表格每一步的意图，有效避免了“会而不懂”，真正做到知其然更要知其所以然。
　　五、教师设计的表格，一定要让学生体会使用表格的必要性
　　教学片段二的改进：
　　各小组动手操作后，教师巡视，收集了一组数据展示：
　　生：我们小组通过实验发现：盖面朝下的可能性比盖面朝上的可能性大。
　　師：第一小组用实验证明了盖面朝上的可能性比盖面朝下的可能性大，你觉得这个结论一定成立吗？你有没有不同的意见 。
　　生：我们这一组通过抛瓶盖发现：
　　生：我们组不同意这个结论，我们小组通过实验发现：盖面朝下的可能性比盖面朝上的可能性大。
　　师：这个小组得到的结论与第一小组的结论刚好相反，你们认为这个结论一定成立吗？
　　生：不行，因为抛的次数太少了
　　师：你认为我们的样本太小了，不足以说明问题，那么你觉得我们怎样做，才能更好地说明问题？
　　生：需要更大的样本。
　　师：你们认为应该取多少个小组比较合适？
　　生：我们班就有8个小组，不如把8个小组的数据全部汇总起来
　　师：这个同学真有想法，知道利用数据最大化。是的，样本越大就越接近事物的本质。
　　教师呈现汇总表，让学生汇报数据。
　　对于教师“一厢情愿”提供的汇总表表格，学生能接受吗？如果不使用教师提供的汇总表格，学生能否解决问题呢？其实大部分学生都能根据题中隐含的数量关系自己独立解决，只不过他们是凭经验而为，解题思路相对比较无序。面对这样的教学起点，如果我们一厢情愿地告诉学生解决问题要用教师提供的表格整理信息，解决问题，那么学生不但不能体会列表的好处，相反容易产生厌烦的情绪。因此，要让学生形成并掌握列表的策略，首先要做的到的就是让学生体会到列表的好处，激发学生寻求列表格解决问题的需要。同样是利用表格汇总数据，得到结论，但是原来的教学片段三直接出示表格，让学生汇总，学生只是盲目跟从老师要求进行汇总，但是为什么要汇总数据，学生根本不了解也没有想过要去了解，知其然而不知其所以然。而改进后的教学片段三，教师注重利用学生现场生成的数据，引发知识的冲突，让学生体现了汇总表的必要性，汇总表格的出现就是水到渠成了，真正让学生做到知其然也知其所以然。
　　六、用列表格解决问题，一定要学生感受列表格解决问题的优越性
　　教学片段三改进：
　　师：刚才同学们在小组内进行了交流，每个小组确定了一种方法来解决这个简单的问题，下面请各小组派上讲台给大家交流他们的解决问题的方法。有请第一小组的同学进行交流，大家要认真倾听，随时向这个小组提问。
　　生：我们小组用的是画图的方法。我们先画8个圆代表8个头，然后个头添上2条腿，就一共添了16条腿，这个时候鸡的腿数齐了，剩下10条腿的全是兔的腿了，每只兔子还差2条腿，所以再给每只兔子添上两条腿，这样就可以添5只兔子，所以有5只兔子，有3只鸡。
　　师：这道题用画图的方法可行吗？对于画图法，你有什么想说的？
　　生：我觉得这个方法可以，如果数目较多的时候，画图就麻烦了。
　　师： 哪一小组的方法与他们小组的不一样？
　　生：我们小组是用的假设法，当鸡为8只，兔为0只的时候，腿数为16；当鸡的只数为7只，兔为1只的时候，腿为18，依次类推，当鸡为3只，兔为5只的时候，腿就刚好是26，这样都得出了鸡为3只，兔为5只。我们这一小组汇报完毕，有没有小组有问题想问？
　　生：我觉得用假设法是可以的，但是如果数目较多的时候，一一假设也很麻烦。而且数字一大堆，看起来比较乱。
　　师：如果我们把数字整理一下，看看效果怎么样。
　　（教师板书，把刚才学生的方法一一有顺序的呈现）
　　师：现在整理好了，同学们还有什么想法？
　　生：现在整理好，比较有顺序，而且也容易找到规律。
　　师：这种方法按照一定的顺序找，能做到不重复、不遗漏，而且比较方便发现规律。如果在这个方法用表格表示，觉得怎么样呢？ （教师直接在刚才整理的数据外面加了一个表格）
　　生：那就更清楚了，很有顺序。
　　师：是的，列表格解决这道题目，比较简单易行，表格看起来很有条理，而且不重复不遗漏，一定能找到我们需要的答案，这是一种很好的解决问题的方案，所以我们的书本就专门给我们介绍利用表格解决问题的方法，我们一起来学习吧。
　　在解决问题过程中，学生可以选择多种方法解决。如在学习鸡兔同笼时，学生可以画图、直接计算、列方程解决，也可以列表格解决问题。但是北师大版教材呈现的是三种列表格解决问题的方法，没有出现其它方法。如果老师直接出现题目，让学生独立解决，学生却很难想到列表格解决问题的方法。因此本节课必须引导学生体会到列表格方法的优越性，从而产生列表格解决问题的心理需求，并主动运用列表格解决问题。
　　列表格，不管是书本已有的表格让学生填写，还是教师自行设计的帮助学生更好的解决问题的表格，都要让学生理解表格的内涵，让学生在实际操作中体会到列表格的必要性与优越性，知其然更要知其所以然，才可以真正培养学生利用表格解决问题的能力。让真正理解列表格解决问题的这种良好的策略，直觉、主动的使用这种策略，让学习更有趣更有效！
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