斜压大气中(2 + 1)维非线性重力波的 广义ZK-mZK方程
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作者:陈利国
摘 要：从描述斜压大气基本动力学方程组出发，通过无量纲分析，利用多重尺度法和小参数摄动展开法，推导了描述斜压大气中（2+1）维重力波演化的广义Zakharov-Kuznetsov-mZakharov-Kuznetsov（ZK-mZK）方程，利用双曲函数展开法得到方程的解析解，结合模型和求解结果分析了重力波形成物理机制。
关键词：非线性重力波;演化模型;广义ZK-mZK方程
中图分类号：O29;P433;O175.2 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2022）02-0001-04
引言
重力波是大气在重力和垂直惯性力作用下产生的一种中尺度波动，是大气中普遍存在的一种波动现象。重力波相关理论研究具有重要的实际价值，如飑线、暴雨、台风等灾害性天气[1-4]。许多学者建立非线性重力波的理论模型，通过理论模型分析和结合实际天气状况，研究非线性重力波的形成机制，而且重力波研究是建立在（1+1）维模型基础上。李麦村推导了重力孤立波的KdV方程，并解释了R线形成的非线性过程[1，3]。之后，获得了斜压大气重力波演化的KdV方程，研究了飑线形成的非线性过程。罗德海推导了Benjamin-Ono（BO）方程来描述代数重力孤立波，解释了R线非线性现象[5]。许秦推导了层结大气中惯性重力波KdV方程模型[6]。许习华等得到了重力孤立波波包的Schr?dinger方程[7]。郭敏等获得了代数重力波Boussinesq-BO方程[8]。相对而言，（2+1）维重力波模型研究较少。学者们建立（2+1）维模型描述重力波的演化特征，比如代数重力波ZK-ILW方程[9]、时间分数阶BO方程[10]、广义（2+1）维Boussinesq-BO方程[11]。一些学者建立非线性重力波分数阶模型[12-14]，通过理论模型和结果分析重力孤立波的生成演化规律，结合实际天气状况解释飑线、暴雨等灾害性天气现象形成的机制。
本文从描述斜压大气基本动力学方程组出发， 先通过方程无量纲化，再利用多重尺度法和小参数摄动展开法，推导了ZK-mZK方程来刻画（2+1）维非线性重力波演化模型，通过模型理论上分析重力波在非线性形成过程的重要影响因素。
1 大气动力学方程组[4]
其中p气压，θ0和ρ0分别表示流场的位温与密度，σ=。对方程（1）进行无量纲化，
（x*，y*）=L（x，y），z*=D（z），t*=f0-1（t），（u*，v*）=U（u，v），
w*=D（z），θ*=δθ*（θ），δp*x，y=f0LU（p），
δpz=δθ*（θ），ρ0=（ρs），
其中f0科氏参数f的特征量，P是气压特征量，H是均匀大气的特征高度，δp*x，y和δp*z分别表示水平和垂直方向的气压变化，带星为无量纲变量。
根据中尺度大气重力波运动特征：D～H，δθ*～，R0=～o（1）再由重力波运动的特征[4]，取L～105m，U～10m/s，f0～10-4/s，N～10-2/s，引入参数ε=?1，其中N2=。于是方程（1）无量纲化后得到
2 广义ZK-mZK方程推导
基于无量纲方程组（2），利用多尺度变换法和小参数摄动展开，推导（2+1）维非线性重力波演化方程。
3 广义ZK-mZK方程的解析解
4 结论
方程（21）是一个新的方程，是文献[4]和[6]的推广，称为广义ZK-mZK方程，它是描述（2+1）维非线性重力波在斜压大气中演变的数学模型。对于新方程（21），nnX和n2nX表示重力波非线性效应，nXY和nXXX表示重力波频散效应，这表明新方程包含重力波的频散过程和非线性形成过程。由方程（21）和推导过程，以及解析解（26）可知，大气的气压、位温和密度等均是重力波形成主要因素，也是频散和非线性共同作用的重要因素之一。在斜压大气中，频散过程与非线性过程的共同作用发生和演变的本质是飑线形成的主要原因[4]。因此，通过对广义ZK-mZK模型研究，可以探索飑线天气现象形成的物理机制。
参考文献：
〔1〕李麦村.大气中飑线形成的非线性过程与 KdV方程[J].中国科学，1981，9（03）：341-350.
〔2〕LI M C. The triggering effect of gravity waves on heavy rain [J]. Chin. J. Atmos. Sci.， 1978，2： 201-209.
〔3〕李麦村.飑线形成的非线性过程[J].中国科学，1976，10（06）：592-601.
〔4〕李麦村，薛纪善.斜压大气中飑线的非线性过程与KDV方程[J].大气科学，1984，8（02）：143-152.
〔5〕罗德海.关于大气中的非线性Benjamin-Ono方程及其推广[J].中国科学（B辑），1988，18（10）：1111 -1122.
〔6〕许秦.层结大气中重力惯性波与R线形成的非线性过[J].中国科W（B辑），1983，13（01）：87-97.
〔7〕许习华，丁一汇.中尺度大气中孤立重力波特征的研究[J].大气科学，1991，15（04）：58-68.
〔8〕GUO M， CHEN X， CHEN Y D， YANG H W. The Boussinesq-BO equation for algebraic gravity solitary waves in baroclinic atmosphere and the research of squall lines formation mechanism [J]. Dyna. Atmos. Oceans.， 2017， 18： 29-46.
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