综合素质培养融入教学案例设计探索
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作者:李娅 苑佳 李美生 薛玉梅
摘要：作为数学教师，其职责不仅仅是教会学生数学知识，更重要的是通过教学过程，使学生建立严谨的数学思维，引导他们主动探索和思考，锻炼分析问题、解决问题、理论和实践相结合等能力，从而培养出国家建设迫切需要的多层次创新型人才。通过一个案例在各个教学环节的应用与拓展，精心设计问题与解决方法，潜移默化训练学生的各方面能力，使他们的数学素养和综合素质得到均衡发展和逐步提高。
关键词：数列;单调有界定理;导数;变量可分离方程;种群模型
中图分类号：O172文献标识码：C
1概述
经典的高等数学或数学分析教材中，在数列的极限部分，通常会采用数学实例引入数列及其极限的定义[12]，然后讲解数列相关知识，而此后相关的例题大多为纯粹的数学问题。而在整个微积分的教学过程中，除函数的极值最值问题以及积分的物理应用和几何应用部分之外，也很少涉及与其他领域或者实际问题有关的应用性问题。
本文以一个具有生物背景的应用性问题为例，详细介绍此问题在数列和微分方程应用的教学设计。通过这样的案例设置，一方面从广度上，激发学生的学习兴趣的同时拓展学生的数学视野，让学生了解科学研究的最前沿方向以及数学在其中发挥的重要作用;另一方面，在解决问题的过程中，锻炼学生的逻辑分析能力和实践动手能力，启发学生积极思考和勇于探索，培养终身学习的能力，顺应国家现代化建设所需的多层次创新型人才培养的需求。
2案例设计
设计所采用的案例具有生物上的应用背景，根据研究对象的不同分别表现为离散形式和连续形式。两种形式下的案例均可结合高等数学各个阶段的教学重点知识进行研究和探索，故本案例将贯穿整个高等数学的学习过程，多次引用和拓展深入，在分析问题和解决问题的过程中，培养学生多方面的能力。
2.1数列极限的案例设计和教学目标
例1[3]有些昆虫种群的生长规律可以用如下的递推公式表示：pn+1=kpn（1-pn），其中0
1表示第n代种群的数量占环境所能容纳的最大种群数量的比例，k为单位种群的自然增长率。
步骤一：取p0=0.5，分别取k=0.5，1.5，3.2，3.45，38，用Mathematica软件绘制数列{pn}，学生观察：数列{pn}是否有极限？若有，极限值是多少？若没有，数列{pn}是否有一定的变化规律？
观察可得：当k=0.5，1.5时极限存在，其中一个极限为0，一个极限非零;当k=3.2，3.45时极限不存在，但数列取值呈现周期性变化的趋势;当k=3.8时极限不存在，且数列的值随机变化。
步骤二：学生思考：对于极限存在的情况，是否可以用理论推导的方式求极限？如何求？
方法：利用单调有界定理证明极限存在性，然后求极限（板书或PPT展示过程）。
步骤三：取k=3.8，将p0的值作一个微小的扰动（例如减少0.001），用Mathematica软件绘制数列pn，学生观察：与步骤一中同一参数对应的数列的图像进行比较，观察图像如何改变，是否有一定规律。
观察可得：此数列对初始值的选取非常敏感。
知识拓展及理论类比：混沌理论。
此时数列所表现出来的随机性和对于初值的敏感性等特点，表明此种群系统处于混沌状态。混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体，连续的数据关系才能加以解释及预测之行椤Ｔ诨煦缦低持校初始条件十分微小的变化，经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。蝴蝶效应是混沌现象的典型例子，一只蝴蝶今天在北京扇动翅膀，可能在大气中引发一系列事件，从而导致某个月纽约一场暴风雨的发生。
步骤四：学生思考：从观察和推导的数学结论能得出关于昆虫种群生长的什么结论？
分析可得：数列pn的变化趋势即代表种群数量的变化趋势。当种群的自然增长率比较低（k=0.5）时，最终种群数量会逐渐缩小直至种群消失;当自然增长率增加（k=1.5）时，种群数量最终趋向于固定规模;当自然增长率继续增大（k=3.2，3.45）时，种群数量呈现周期性变化的趋势;自然增长率增大到一定程度（k=3.8）时，种群数量呈随机变化的趋势。从本例看出，实际问题可以转化为数学问题，然后利用数学工具进行研究，然后将研究结果与实际问题去对应，从而解决实际问题。
总结：本例具有很强的应用背景，通过本例的展示，使学生了解数学与其他学科的交叉和应用，也使得相对枯燥的数学知识更加有趣，激发学生的积极性。本案例充分体现了科学研究的基本思路和方法：发现规律，主动思考，分析问题，解决问题。借助引导式、启发式的教学方法，帮助学生透过现象看本质，循序渐进地发现问题并一一解决，是对学生科学研究能力的基本训练，同时也提高了学生的自信心，坚定他们不畏困难、勇闯难关的信念。同时本案例的展示，为学生提供了多样化的现代学习方式，引导学生充分利用计算机的优势辅助解决问题。对混沌知识的拓展，扩大了学生的知识视野，多维度地展现一个丰富多彩的世界。
2.2常微分方程的案例设计和教学目标
例2在某些种群数量研究中，如果种群生长和繁殖不同于昆虫种群具有按季节或者年份的规律，则可将种群的生长看作是连续的，此时可将种群数量看作是关于时间t的函数。记x（t）为时刻t时的种群数量占环境所能容纳的最大种群数量的比例，则由导数定义，种群的增长率可表示为x′（t）。通过对影响种群增长的因素进行分析，一般可用如下方程表示种群的变化：x′（t）=kx（1-x），k为单位种群的自然增长率，这个方程在种群动力学中称为Logistic模型，是研究连续变化的种群增长规律的最基本模型。
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