定积分概念的教学探究
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作者:陈玉清
摘要：定积分是高等数学中重要的概念，在高等数学中占据重要的地位，同时，其概念又具高度的抽象性。本文在阐述定积分重要性的基础上，研究定积分概念的教学形式，通过与信息化技术手段相结合，合理安排教学内容，降低理解难度，激发学生学习兴趣，且信息技术在学习中的应用，可培养学生创新意识及创造能力。教学过程中融入数学文化及思政教育，又可起到提升学生人文素养及思想教育的作用。
关键词：微积分；定积分的概念；教学探究
数学是自然科学的重要基础，应用于现代社会的方方面面，运用符号运算、形式推理、模型构建等方式，表达现实世界中事物的本质、关系和规律［1］。数学概念是数学的基础内容，是数学判断和推理的依据。如不理解概念，在解决数学问题时，往往会碰到很多困难。特别是对同一数学概念的不同表达形式、概念之间的相互关系等缺乏系统概括的理解［2］。微积分是高等数学的主要内容，正确理解导数、微分、定积分的概念，是理解、记忆微积分中涉及的公式、符号、定理及解题的核心。定积分是积分学教学中的重点和难点。如何在教授定积分的过程中，让学生更好地理解、接受定积分，并激发学生的学习兴趣，培养学生逻辑推理、分析、归纳、总结的能力以及创新能力是教学中值得研究的课题。
一、定积分概念的教学探究
（一）教学背景
当今社会，科技迅猛发展，“数学”课程的教学方法与教学手段必然随之改变。传统的“黑板+板书”的教学模式无法适应于信息化时代下成长的学生，特别是“数学”课程中的数学概念抽象、难以理解、推导过程复杂，使高职学生心存畏惧。将合适的信息技术运用到教学中，使教学内容更清晰化，将有利于学生理解并接受，同时能培养学生的创新能力。数学是一门抽象的学科，特别是数学概念，如能借助合理的信息技术作为辅助，从而提高教学质量、课堂容量、学生学习兴趣。授课前期，以微积分发展史及涉及相关数学家的故事作为引入，让学生了解数学的重要性和数学家们的伟大贡献，以及他们孜孜不倦、一丝不苟、锲而不舍、坚持不懈的精神品质。
（二）教学目标及教学方法
1.教学目标
知识目标：理解并掌握定积分的概念、几何意义；结合实例，简单了解定积分知识的实际应用；能力目标：在定积分概念形成过程中，培养学生的抽象概括能力，提高学生分析问题、解决问题的能力；素养目标：让学生了解定积分的概念形成背景，培养学生探索数学的兴趣。
2.教学重点、难点
定积分的概念与思想，定积分概念的理解及应用［3］。
3.教学方法
多媒体运用，启发式引导，理论与实际相结合。
（三）教学过程
1.新n引入
有效的引入不仅能激发学生的学习兴趣，更有助于学生对后续要学习的知识的理解与掌握［4］。
简单介绍微积分发展简史，突出微积分的重要性：微积分的诞生，带来了工业革命，有了大工业生产，继而有了现代化的社会：航天飞机宇宙飞船，及现代化的交通工具等［5］，很多自然科学、几何学的概念中都需要定积分。促使学生重视数学，重视知识的力量。定积分是对连续变化过程总效果的度量，求曲边梯形的面积是定积分概念最直接的起源［5］，引出第一个引例的教学。
2.介绍两个典型例子
第一个典型例子：曲边梯形的面积。
定积分是为了计算平面上封闭曲线围成的平面图形的面积而产生的，规则平面图形面积在中学阶段已经解决，让学生回顾已学习过的规则图形及其面积公式，进一步引出不规则平面图形的面积如何解决的问题。为了引起学生的学习兴趣，可以从实际生活中寻找这种不规则图形，进而提出问题。
对学生提出“如何求出这种不规则图形的面积呢？”的问题，启发学生思考，并给出一个不规则图形，使用信息技术手段分割所给不规则图形为规则图形和不规则图形1：
以不规则图形中其中某部分为例进行研究，曲边梯形的概念及计算其面积的问题，给出曲边梯形的概念。
曲边梯形的概念：曲边梯形是由连续曲线y=f（x）（f（x）0）及三条直线x=a，x=b，y=0所围成的平面图形，如图2：
设曲边梯形的面积为A，利用信息技术手段向学生展示如何分割曲边梯形，将分割出来的其中某一个窄曲边梯形与和它同底的小矩形面积比较，如图3和图4所示：
分析：由于曲边梯形在底边上的各点处的高f（x）在区间［a，b］上是变动的，因此面积A不能直接用矩形或梯形的面积公式计算。但由于曲边梯形底边上的高f（x）在区间［a，b］上是连续变化的，如果曲边梯形的底边很短，则高f（x）变化不大，可近似地看作不变化，因此自然想到用小矩形的面积之和逼近曲边梯形的面积A。
让学生观察，将曲边梯形分成4个小曲边梯形和将曲边梯形分成9个小曲边梯形两种情况下，哪种分割法可以使小矩形面积之和更接近大的曲边梯形的面积。再进一步引导学生总结结论：将曲边梯形分割越细，小矩形越多，小矩形面积之和与整个曲边梯形的面积越接近，自然给出求解曲边梯形面积的解题思路：分割、取近似、求和、取极限及计算过程，由此定义出曲边梯形的面积A=limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi。重点利用多媒体教学的优势，精心制作求曲边梯形面积的动态课件，如下图6，让学生理解分割、近似的过程。通过直观的显示，可使抽象的概念变得直观、生动，从而有助于学生对定积分相应数学思想和方法的理解。
第二个典型例子：变速直线运动的路程。
同曲边梯形的面积求解过程类似，运用多媒体手段制作动画展示运动过程，总结求解四步骤：分割、取近似、求和、取极限，定义出变速直线运动的路程S=limλ→0∑ni=1v（ξi）Δti。进一步引导学生总结两个典型例子相同之处：数学处理方式相同，数学表达式相同，都为具有相同结构的和式的极限。在科学技术中还有许多问题也可以归结为这类和式的极限，抛开具体问题的情境和意义，抽取它们在数量关系上共同的特征，用数学语言加以概括，就可以抽象出定积分的定义［3］。在总结的过程中，注重培养学生逻辑思维、总结、归纳的能力。
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3.定积分的概念的具体内容
让学生结合上述两个典型例子，自主阅读概念内容，对于定义中给出的函数f（x），启发学生说出在上述实例中f（x）是指曲边梯形的面积中曲线y=f（x），在变速直线运动的路程中是指速度v=v（t），定义中的f（ξi）△ti在曲边梯形的面积问题中是指第i个小矩形的面积，在变速直线运动的路程问题中是指第i个小时间段上路程的近似值，结合实际问题理解定义，抽象的问题显得更加形象化，便于基础薄弱的学生加以理解。
4.用定积分解决实际问题问题，体现定积分的作用，启发学生学习兴趣
用定积分解决新课引入部分图1面积问题。图7～图9为拟合出的污染面积及分布在各象限内的边界函数，
以第一象限为例，在第一象限内，边界函数为：
f（x）=-41875x4+11150x3-2330x2+3115x+20，x∈［0，20］
利用定积分的方法可得到第一象限的图1的面积为：
S1=∫200（-41875x4+11150x3-2330x2+3115x+20）dx
其中S1为第一象限内的图1的面积。理论知识与实践相结合的教学模式，既能调动学生的学习兴趣，又能让学生感受到数学的实际应用的重要性，从而激发学生热爱数学，进而努力学习数学知识。
5.定积分的几何意义的介绍
利用多媒体手段，结合曲边梯形的面积展示图形，介绍定积分的几何意义，学生可以直观上体会并理解。几何意义的介绍，对后续定积分的应用起到铺垫作用。
6.思政内容的引入
定积分的主要思想是无限细分、以直代曲、无限逼近，这个经典的数学思想不但可以用来求积分，而且可以作为解决现实问题的钥匙。当学生遇到困y的时候，可以启发学生用“分而治之”的思想方法解决，一个看起来很困难的问题，往往是由若干个简单问题组成的，只要善于分解问题，各个击破，那么难题就不会显得那么可怕了，有道是“世上无难事，只要肯分解”，这样能够帮助学生养成自信和勇于克服困难的精神。最后内容总结，启发学生总结一节课所学内容：由实际问题曲边梯形的面积和变速直线运动物体的路程，得数学模型A=limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi，抽象出定积分的概念，即∫baf（x）dx=A。在总结中，培养学生归纳、总结、逻辑思维的能力。
二、结论
上述的教学方式及教学过程以学生为教学导向，针对高职层面的学生实际情况，合理安排教学内容，选择科学的教学方法与手段，使学生更加容易接受数学，更好地学好数学，为学习其他专业课打好基础。运用观察、分析、比较、归纳等数学方法，不仅引导学生接受并吸收所学知识，更重要的是在传授知识的过程中，训练了学生数学思维及数学逻辑，培养了学生的创新能力，使其思维的广度、深度和创造性得到进一步加强［6］。
参考文献：
［1］高夯.人文数学［M］，科学出版社，2021，3.
［2］文青.高职一元函数微积分概念的教学策略研究［J］.武汉船舶职业技术学院学报，2020，19（01）：5557+66.
［3］王雅萍.高职数学信息化教学探索――以定积分的概念为例［J］.安徽电子信息职业技术学院学报，2017，5：5254
［4］黄敢基.浅谈大学数学的概念教学设计――以定积分为例［J］.高教学刊，2016，12：8384.
［5］张顺燕，数学的美与理（第二版）［M］.北京大学出版社，2012，7.
［6］张学润.积分概念的横向教学研究［J］.创新创业理论研究与实践，2019，2（24）：1920.
项目：2021年度高校哲学社会科学研究一般项目，项目编号：2021SJA0814，项目名称：大学数学对高职院校学生的人文素养与创新意识教育的研究
作者简介：陈玉清（1981―），女，江苏宿迁人，硕士，讲师，研究方向：高等数学教学模式研究。
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