用“模型”夯基础 探“本质”提素养
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作者:曹友成 王兴成 周世建
［摘 要］ 初中平面几何的基础知识、核心知识可以用“模型”来表达，“模型”简洁、直观，能突出核心［1］. 如果学生能准确理解“模型”，善于运用“模型”，就能有效地避免机械刷题，实现“双减”. 但一味地依赖“模型”，也会导致思维定式，核心素养缺失. 所以需要教师引导学生通过深刻理解、深层思考、探究操作等方式抓住数学“本质”，这便是提高学生核心素养的具体方式和教学路径.
［关键词］ 模型；基础；本质；素养；教学导航
“双减”是时代的迫切要求，提升学生的核心素养是落实立德树人的根本途径. 既要“双减”，又要有效提升学生的核心素养，初中数学教师应该树立什么观念，应在初中数学课堂教学中如何操作？ 这些问题一直萦绕在笔者脑海里，挥之不去，驱之不散. 笔者喜出望外地从2022年重庆中考题A卷第25题中找到了答案，认真研究后笔者发现，该题是在为初中数学教师的数学教学导航，也在为学生的数学学习导航.
试题呈现
（2022年重庆市中考数学A卷第25题）在锐角三角形ABC中，∠A=60°，D，E两点分别是边AB，AC上的动点，连接BE交直线CD于点F.
（1）如图1所示，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数.
（2）如图2所示，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针旋转60°后得到线段MC，连接MF，N是MF的中点，连接CN，在D，E两点运动的过程中，猜想线段BF，CF，CN之间的数量关系，并证明你的猜想.
（3）若AB=AC，且BD=AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面得到△ABP，H是AP的中点，K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面得到△QHK，连接PQ. 在D，E两点运动的过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出的值.
试题品鉴
本题是以三角形为背景的几何题，设计了三个问题，三个问题层次分明，所涉及的知识由浅入深，对能力要求循序渐进，由知识立意与能力立意，润物细无声地过渡到素养立意. 本题是中考卷的最后一题，也是全卷的压轴题，有知识的复杂性、能力的灵活性、素养的综合性，有效地体现了中考题的甄别功能和教学导向性. 下面，笔者从试题剖析、解法赏析、试题变式三个角度进行品鉴.
（一）试题剖析
本题将“四基”“四能”与几何问题有机融合，以旋转、翻折两种基本几何变换为线索设计问题串，不仅考查全等三角形的判定、全等三角形的性质、三角形的内角和等基础知识，还考查了学生的几何作图能力、直观想象能力、逻辑推理能力. 本题看似是一道静态几何题，实际上从第（1）问到第（3）问都是动态变化的，动中有静，变中有定.
《义务教育笛Э纬瘫曜肌分赋觯初中阶段图形与几何包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题. “图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形；“图形的变化”强调从运动变化的观点来研究图形，理解图形的轴对称、旋转和平移时的变化规律，以及变化中的不变量；“图形与坐标”强调数形结合，用代数的方法研究图形，在平面直角坐标系中用坐标表示图形上点的位置，用坐标分析和解决问题［2］.
因此，从课程标准的角度审视本题，发现本题是将“图形的性质”“图形的变化”两个主题有机融合，将课程标准中这两个主题对学生的要求体现得淋漓尽致.
具体地，第（1）问以“求∠CFE的度数”这一问题为导向考查全等三角形的构造、判定、性质. 这一问相对简单，属于基础知识与基本技能的考查，是典型的轴对称全等三角形模型结构的构造，学生容易从这一模型结构产生想象，进而作出辅助线解决问题. 第（2）问以“猜想线段BF，CF，CN之间的数量关系，并证明你的猜想”这一问题为驱动，考查学生提出问题、分析问题、解决问题的能力. 提出问题，即猜想三条线段之间的数量关系；分析问题，即通过观察图形，联想模型，理清证明猜想的思路；解决问题，即严格的逻辑推理论证. 这与“会用数学的眼光观察、会用数学的语言表达、会用数学思维思考”高度契合. 第（3）问是一个复合问题，需要先探究线段PF取得最小值时的本质条件及图形结构，进而求出的值. 前者是探究性问题，无模可想，无模可套，考查学生的核心能力、核心素养，要求学生对问题进行深层思考，并深入问题的本质. 后者可视为求线段的长，解三角形. 尽管后者看似思路简单，但必须以前面的探究为前提，所以探究成为本问的重点和关键点.
（二）解法赏析
1. 单一模型，畅通无阻
分析题目的已知条件，结合第（1）问的直观图形，很容易发现其中隐藏着一对轴对称结构的全等三角形，其基本模型如图3或图4所示.
所以，第（1）问的解答思路是，在射线CD上截取CI=BE，并连接BI，如图5所示. 易证△BCI≌△CBE，所以BI=CE=BD. 所以∠BID=∠BDI=∠CEF. 所以∠CFE=∠A=60°. 当然，也可以按图6所示的方式构造对称全等模型来解答问题，两种证明方法相同.
2. 双重模型，巧架桥梁
第（2）问的突破口是“N是MF的中点”. 从原题中抽出这一基本结构如图7所示，由此可展开直观想象构造第一层模型，即倍长CN构造“X型”全等图形，如图8所示，或者倍长MC构造中位线基本模型，如图9所示.
由此可得到2CN=CL=FR，再进一步比一比、量一量，可直观想象CL，BF，CF或FR，BF，CF之间的数量关系为CL=BF+CF，FR=BF+CF. 显然此时需要构造第二层模型将BF+CF变为一条线段. 由结论∠CFE=∠BFD=60°，可直观想象到将线段CF绕点F逆时针旋转60°后得到图10，或者将线段BF绕点F顺时针旋转60°后得到图11，实现变两条线段之和为一条线段的目的，在旋转的同时也构造了等边三角形.
此时只需要证明这两个基本模型中的BC′=CL=FR=B′C即可，于是这里需要架设连接两个模型的桥梁. 现以融合图8、图11的模型证明CL=B′C为例. 如图12所示，因为△B′BF与△ABC都是等边三角形，所以易证△B′BA≌△FBC，所以有AB′=CF，∠B′AB=∠FCB=α. 进一步可得∠B′AC=60°+α，∠FCM=120°-α. 易证FL∥CM，所以∠CFL=60°+α，所以∠B′AC=∠CFL. 又BC=AC=MC=FL，所以△B′AC≌△CFL. 所以B′C=CL，即BF+CF=2CN. 由此可见，连接两个模型的桥梁就是△B′BA≌△FBC，进而通过推理可得到∠B′AC=∠CFL=60°+α.
当然，从第一层模型的两种构图中任选一个与第二层模型的两种构图中任选一个进行组合，会得到四种不同的组合. 第一层模型中连线的方式不同，第二层模型中旋转的方向不同，所以两层模型组合会有多种不同的情形. 由此也轻松理解了本问解法的多样性，但万变不离其宗――根据已知和问题构建双重模型并架设桥梁解决问题，其中“模”来源于基础，“桥”来源于能力.
3. 无模可套，素养当道
本题第（3）问是一个复合问题：需要先确定线段PF的长度最小时的图形状态，再确定QK⊥PF时的图形，最后求的值. 显然前者是关键，它既是解决问题的前提，又是化动为静的关键. 其中P是定点，F是动点，要求线段PF长度的最小值，就要确定点F的轨迹，这是本题的难点，没有模型，无模可套. 这就需要学生保持冷静，理性思考，深层思考，把握现象背后的本质. 通过分析容易发现∠CFE=60°恒定不变，所以其邻补角∠BFC=120°也恒定不变，由角的大小不变判定∠BFC是圆周角，从而点F的轨迹是弦BC所对的劣弧. 由圆周角与圆心角的关系可进一步确定点F的轨迹及所在圆的圆心（O）、半径，如图13所示. 显然，如图14所示，当P，F，O三点共线时，线段PF的长度取得最小值，再当QK⊥PF时，得∠PKH=∠QKH=45°. 至此，问题已经转化为静态问题：已知BC的长，求PQ的长. 于是，过点P作PR⊥PA，过点O作OR⊥PR，垂足为R，过点H作HT⊥PK，垂足为T，如图15所示. 不妨设OB=a，则BC=PA=a，PR=2a. 所以tan∠POR=. 所以tan∠HPT=. 又PH=PA=a，所以在Rt△PHT中可解得PT=a，HT=a. 所以PK=PT+KT=PT+HT=a+a. 所以PQ=PK=a+a. 所以=+.
（三）试题变式
变式几何题首先需要教师对试题结构有深刻的理解，可通过架设研究背景，确定一般化的推广方向，归纳结构，这样不仅可以极大地提高学生对图形结构的理解与认知，还可以助力学生逻辑推理能力与数学建模能力等核心素养的培养.
1. 建构背景，追本溯源
【以动研静，挖掘隐圆，找到本质】
第（2）问的本质是定角对定边可定隐藏圆. 若固定△ABC的边长，改变点E的位置，则点F在以点O为圆心、BO的长为半径的圆周上运动，如图13所示，其中BO=OC，∠BOC=120°. 因此在圆的背景下，BF，FC为O的弦.
【联动核心，统一背景，深化理解】
为关联点F的运动背景，可依托中点N，构造中位线，即倍长CN（FQ∥CN，FQ=2CN），易知B，F，C，Q四点共圆，因此2CN也为O的弦，如图16所示. 由此，本题变成在O中研究共圆上一点的三条弦之间的数量关系. 由对角互补的四边形BFCQ有一组邻边相等，可构造旋转全等，即△FCQ≌△PBQ，如图17所示，于是可快速找到解题方法，最终证得△PFQ为等边三角形，得到BF+FC=2CN. 另外，在B，F，C，Q四点共圆的背景下，由托勒密定理，可得2CN・BC=BF・CQ+CF・BQ，化后即为待证结论. 在△BQC为等边三角形的背景下，线段BC=BQ=CQ，若改变△BCQ的形状，即改变△ABC的形状，则可以改变问题中线段的数量关系.
2. 特殊化引路，一般化推广
变式思路1：保持△ABC为等腰三角形，改变∠BAC的大小，将条件“BD=AE”变为“∠BAC+∠BFC=180°”.
变式1：如图18所示，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，D，E两点分别是边AB，AC上的动点，连接BE交直线CD于点F. 若∠BAC+∠BFC=180°，在平面内将线段AC绕点C顺时针旋转30°后得到线段MC，连接MF，N是MF的中点，求证：（-）CN=BF+CF.
变式2：在“变式1”的基础上，将“∠BAC=30°”变为“在△ABC中，sin=”，将“线段AC绕点C顺时针旋转30°”变为“线段AC绕点C顺时针旋转∠BAC的度数”，则结论变为“求证：CN=BF+CF”.
一般化推广1：如图19所示，在“变式1”的基础上，将等腰三角形ABC一般化，即不固定∠BAC的大小，将“∠BAC=30°”变为“sin=”，将“线段AC绕点C顺时针旋转30°”变为“线段AC绕点C顺时针旋转∠BAC的度数”，则结论变化为“求证：4nCN=mBF+mCF”.
分析：解题时，保持辅助线构法不变的情况，如图20所示，可得△BCQ∽△PFQ，有=，其中PF=BF+CF，FQ=2CN，=2sin=. 结合上述分析，问题的本质是对△BCQ∽△PFQ这组旋转相似的刻画. 此问题也可以由托勒密定理直接得到，本质相同.
一般化推广2：如图21所示，在“变式1”的基础上，将△ABC一般化，即BC ∶ AC ∶ AB=a ∶ b ∶ c，且把“在平面内将线段AC绕点C顺时针旋转30°后得到线段MC”变为“过点C沿BA方向作射线CG∥AB，在CG上取一点M，使得CM=AB”，于是结论可变化为“求证：2aCN=cBF+bCF”.
变式思路2：在B，F，C，Q四点共圆的背景下，托勒密定理与三弦定理是统一的，BF，FC，2CN均为弦，此题也可由三弦定理展开变式，将边与角结合起来考虑.
结语
数学模型是参照某种事物的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构，其中包括几何模型. 用数学模型来解决问题的方法就是数学模型方法. 数学模型方法能简化解决问题的过程，能提高解决问题的效率. 在教学中，教师应引导学生自主建构模型，准确理解“模型”，熟练应用“模型”，这样既有利于深刻认识相关内容的核心，又能少走弯路，切实“减负”. 但一味地依赖模型会形成思维定式，而且现实世界不是所有的问题都有模型可用，所以，教师还得引导学生变化思维，探究问题的本质.
“数学本质”是指数学教学内容本身所固有的根本属性，是数学内容区别于其他学科内容的基本特质，数学内容的数学本质决定了该内容在解决相应数学问题时运用的方法、规律及作用. 所以，在教学中，教师引导学生抓住数学内容的数学本质，就是在引导学生掌握与该教学内容相关联的根本方法，理解其中的基本规律及作用［3］，这就是关键能力、核心素养.
笔者认为，通过抓数学本质提升核心素养的基本途径有：以概念教学为载体，抓概念的内涵就是抓本质；以变式教学为载体，从变化中抓不变，不变的就是本质；以动态问题为载体，从动中抓静，静止或不变的就是本质；以抽象、归纳为手段，从不同中抽象出相同的内容，其中相同的内容就是本质. 只有抓住本质才能应万变，才能解决未知世界的问题，才能实现创新.
参考文献：
［1］苏明海，曹友成. 平面几何中的逻辑思维与“无模”思维［J］. 中学数学教学参考，2021（30）：65-68.
［2］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.
［3］石志群. 数学教学如何突出数学本质［J］. 数学通报，2019，58（06）：23-26.
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