线性回归是一种常用的机器学习方法，它可以通过对一组数据进行拟合，来预测新的数据。在这篇文章中，我们将介绍线性回归的公式推导。

首先，我们需要定义一些符号。假设我们有一个包含n个样本的数据集，每个样本有d个特征。我们用x(i,j)表示第i个样本的第j个特征，用y(i)表示第i个样本的输出。我们的目标是通过这些样本来构建一个线性模型，使得对于任意一个新的样本x，都能够预测出它的输出y。

我们的线性模型可以表示为：

y = w0 + w1x(1) + w2x(2) + ... + wdx(d)

其中，w0是偏置项，w1到wd是权重。我们的目标是找到一组权重和偏置项，使得对于所有的样本i，模型的预测值和真实值的差距最小。我们可以用最小二乘法来求解这个问题。

最小二乘法的思想是，最小化所有样本的预测值和真实值之差的平方和。我们可以定义这个平方和为损失函数，记为J(w0,w1,...,wd)：

J(w0,w1,...,wd) = (1/2n) * ∑(i=1 to n) (y(i) - yhat(i))^2

其中，yhat(i)表示第i个样本的预测值，可以用模型的公式来计算：

yhat(i) = w0 + w1x(i,1) + w2x(i,2) + ... + wdx(i,d)

现在，我们的目标是找到一组权重和偏置项，使得损失函数最小。我们可以通过对损失函数求偏导来得到最小值，具体的求导过程略去不表。最终，我们得到了一组公式来更新权重和偏置项：

w0 = w0 - alpha * (1/n) * ∑(i=1 to n) (yhat(i) - y(i))

wj = wj - alpha * (1/n) * ∑(i=1 to n) (yhat(i) - y(i)) * x(i,j)

其中，alpha是学习率，它控制每一次更新的步长。我们可以通过多次迭代来更新权重和偏置项，直到损失函数收敛。

综上所述，线性回归的公式推导包括了定义符号、构建线性模型、定义损失函数以及更新权重和偏置项四个步骤。通过这些步骤，我们可以得到一组权重和偏置项，用于对新的数据进行预测。