方差是概率论和统计学中的一个重要概念，用来描述随机变量的分散程度。方差的第二个公式是一个重要的推导公式，它可以用来计算一组数据的方差。本文将详细介绍方差的第二个公式的推导过程。

首先，我们先回顾一下方差的定义。对于一组数据 $x_1,x_2,...,x_n$，它们的方差 $\sigma^2$ 定义为：

$$\sigma^2 = \frac\sum_^(x_i-\mu)^2$$

其中，$\mu$ 是数据的平均值。这个公式的意义是，将每个数据点与平均值的差平方，求和后再除以数据点个数。

但是，在实际计算中，我们往往更习惯使用下面这个等价的公式：

$$\sigma^2 = \frac\sum_^x_i^2 - \mu^2$$

这个公式与前一个公式等价，但是更加方便计算。接下来，我们来推导一下这个公式。

首先，我们将前一个公式展开：

$$\begin\sigma^2 &= \frac\sum_^(x_i-\mu)^2 \\&= \frac\sum_^(x_i^2-2x_i\mu+\mu^2)\\ &= \frac\sum_^x_i^2 - \frac\mu\sum_^x_i + \frac\sum_^\mu^2\end$$

我们来分别计算这三项。首先是 $\frac\sum_^x_i^2$：

$$\frac\sum_^x_i^2 = \frac$$

接下来计算 $\frac\mu\sum_^x_i$：

$$\frac\mu\sum_^x_i = \frac$$

最后计算 $\frac\sum_^\mu^2$：

$$\frac\sum_^\mu^2 = \frac = \mu^2$$

将这三项代入之前的公式中，得到：

$$\sigma^2 = \frac - \frac + \mu^2$$

可以发现，这个式子可以进一步简化。我们知道，数据点的和等于 $n$ 个平均值的和，即 $x_1+x_2+...+x_n = n\mu$。将这个代入上式，得到：

$$\sigma^2 = \frac - 2\mu^2 + \mu^2 = \frac\sum_^x_i^2 - \mu^2$$

这就是方差的第二个公式。它的意义是，将数据点的平方和与平均值的平方相减，再除以数据点个数，即可得到方差。

通过推导，我们可以发现，方差的第二个公式与第一个公式是等价的。在实际计算中，我们可以根据数据的特点和计算需求，选择使用哪一种公式进行计算。