行列式是线性代数中的重要概念，它可以用来描述矩阵的性质，求解线性方程组、计算矩阵的逆等等。在实际应用中，我们通常需要计算行列式的值。本文将介绍如何利用行列式的性质来计算行列式。

首先，我们需要了解行列式的定义。对于一个 $n\times n$ 的矩阵 $A$，它的行列式表示为 $|A|$，定义为：

$$|A|=\sum_\mathrm(\sigma)a_a_\cdots a_$$

其中，$\sigma$ 是 $S_n$ 中的一个置换，$\mathrm(\sigma)$ 是 $\sigma$ 的符号，$a_$ 表示 $A$ 的第 $i$ 行第 $\sigma(i)$ 列的元素。

在实际计算中，直接按照定义计算行列式的值是非常困难的。因此，我们需要利用行列式的性质来简化计算。

性质 1：交换矩阵的两行（列），行列式的值变号。

这个性质可以用来将矩阵变换成上三角矩阵或下三角矩阵，从而简化计算。

性质 2：如果矩阵的某一行（列）是另外两行（列）的线性组合，那么行列式的值为 $0$。

这个性质可以用来判断矩阵是否可逆。

性质 3：将矩阵的某一行（列）乘以一个数 $k$，行列式的值乘以 $k$。

这个性质可以用来将矩阵的某一行或列化为 $1$，从而简化计算。

利用这些性质，我们可以将矩阵变换成一个简单的形式，从而计算行列式的值。下面以一个 $3\times 3$ 的矩阵为例：

$$A=\begin1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2\end$$

首先，我们可以交换 $A$ 的第 $1$ 行和第 $2$ 行，得到一个新矩阵 $B$：

$$B=\begin2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end$$

由于交换了两行，$B$ 的行列式的值为 $-|A|$。接下来，我们可以将 $B$ 的第 $2$ 行减去第 $1$ 行，得到一个新矩阵 $C$：

$$C=\begin2 & 3 & 1 \\ -1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 2\end$$

由于 $C$ 的第 $2$ 行是第 $1$ 行和第 $2$ 行的线性组合，所以 $C$ 的行列式的值为 $0$。因此，我们可以将 $C$ 的第 $2$ 行乘以 $-1$，得到一个新矩阵 $D$：

$$D=\begin2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & 2\end$$

由于 $D$ 的第 $1$ 行和第 $2$ 行的和为 $D$ 的第 $3$ 行，所以 $D$ 的行列式的值为 $0$。因此，我们可以将 $D$ 的第 $3$ 行减去第 $1$ 行，得到一个新矩阵 $E$：

$$E=\begin2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1\end$$

现在，$E$ 变成了一个上三角矩阵，我们可以直接计算行列式的值：

$$\begin |E|&=2\times 1\times 1\\ &=2 \end$$

因此，$|A|=-|B|=2$。

总结一下，利用行列式的性质可以将矩阵变换成一个简单的形式，从而简化计算行列式的值。当然，在实际应用中，还有许多其他的技巧和方法可以用来计算行列式，这里就不一一列举了。