矩阵a平方等于a是一个非常有趣的数学问题。这个问题的解决与矩阵的对角化有着密切的关系。在本文中，我们将详细探讨矩阵a平方等于a的原因以及它为什么可以对角化。

首先，让我们来看矩阵a平方等于a的定义。矩阵a平方等于a，就是说a乘以a等于a本身，即a²=a。这个定义可以表示为a²-a=0，进一步转化成(a-1)a=0。由此可知，a矩阵的特征值只可能是0和1。

接下来，我们需要证明矩阵a平方等于a可以对角化。首先，由于a矩阵的特征值只可能是0和1，因此a的特征多项式为p(λ)=(λ-1)k(λ)，其中k(λ)是一个次数为n-r的多项式（n表示矩阵a的阶数，r表示特征值为1的特征向量个数）。由于a²=a，所以a也是方阵，因此a的特征多项式也可以表示成p(λ)=(λ-1)k(λ)。

接下来，我们需要证明a矩阵可以对角化。根据矩阵对角化的定义，如果一个矩阵可以相似对角化，那么它一定可以对角化。因此，我们只需要证明a矩阵可以相似对角化即可。

根据矩阵相似的定义，如果存在一个可逆矩阵P，使得a=PDP⁻¹，其中D是对角矩阵，那么a就可以相似对角化。我们可以把P分成两部分，P=[P₁,P₂]，其中P₁是a的特征值为1的特征向量组成的矩阵，P₂是a的特征值为0的特征向量组成的矩阵。由于a的特征值只可能是0和1，因此P₁和P₂是互不相交的向量空间，即P₁和P₂的交集只包含零向量。

接下来，我们需要证明P₁是可逆的。由于a的特征值为1，因此P₁是满秩的，即它的列向量线性无关，因此P₁是可逆的。我们可以把P₁的逆矩阵表示为P₁⁻¹=[v₁,v₂,...,vₙ]，其中v₁,v₂,...,vₙ是P₁的列向量。

接下来，我们构造一个矩阵Q=[v₁,a(v₁),...,a⁽ⁿ⁻¹⁾(v₁),v₂,a(v₂),...,a⁽ⁿ⁻¹⁾(v₂),...,vₘ,a(vₘ),...,a⁽ⁿ⁻¹⁾(vₘ)]，其中m是P₁的列向量个数，也就是特征值为1的特征向量个数。由于P₁和P₂的交集只包含零向量，因此Q是可逆的。

接下来，我们证明a=PDP⁻¹。我们可以将P表示为P=[P₁,P₂]=[v₁,v₂,...,vₘ,P₂]，则有：

P⁻¹=[P₁⁻¹,-P₁⁻¹P₂(P₂⁻¹P₂)⁻¹,P₂⁻¹]

aP=[P₁,P₂] [D₁,0;0,D₂] = [D₁P₁,D₂P₂]

Pa=[v₁,v₂,...,vₘ,P₂] [D₁P₁,D₂P₂] = [D₁v₁,D₂v₂,...,D₂vₘ,P₂D₂P₂⁻¹D₁v₁,P₂D₂P₂⁻¹D₂v₂,...,P₂D₂P₂⁻¹D₂vₘ]

PDP⁻¹=[D₁v₁,D₂v₂,...,D₂vₘ,0,0,...,0,P₂D₂P₂⁻¹D₁v₁,P₂D₂P₂⁻¹D₂v₂,...,P₂D₂P₂⁻¹D₂vₘ]

由于D₁v₁,D₂v₂,...,D₂vₘ是特征值为1的特征向量，它们是线性无关的，因此可以构成一个基。而P₂D₂P₂⁻¹D₁v₁,P₂D₂P₂⁻¹D₂v₂,...,P₂D₂P₂⁻¹D₂vₘ是特征值为0的特征向量，因此它们都是零向量。因此，PDP⁻¹是一个对角矩阵，a可以相似对角化。

综上所述，矩阵a平方等于a可以对角化的原因是，它的特征值只可能是0和1，且满足a矩阵可以相似对角化的条件。