函数极限是微积分中非常重要的概念，它是指当自变量趋近于某一特定值时，函数值趋近于一个确定的值。而函数连续则是指函数在某一点处的极限等于该点处的函数值。那么函数极限和连续之间存在什么关系呢？

首先，我们需要知道一个定理：如果函数在某一点处存在极限，那么该点处函数一定连续。这个定理的证明可以通过极限的定义和连续的定义来推导。具体来说，当自变量趋近于某一特定值时，函数值趋近于一个确定的值，这个值就是函数在该点处的极限。而如果函数在该点处连续，意味着当自变量趋近于该点时，函数值趋近于该点处的函数值，也就是极限值。因此，函数在某一点处存在极限，就意味着函数在该点处连续。

但是反之则不一定成立，也就是说，函数在某一点处连续，不一定意味着函数在该点处存在极限。举个例子，考虑函数f(x) = sin(1/x)，当x不等于0时，f(x) = sin(1/x)，当x等于0时，f(x) = 0。容易发现，函数在x等于0处连续，但是函数在x等于0处不存在极限，因为当x趋近于0时，f(x)的值不会趋近于任何一个确定的数。因此，函数连续并不一定意味着函数存在极限。

综上所述，函数极限和连续之间存在着一定的关系。虽然函数在某一点处存在极限，就一定连续，但是反之不成立。因此，在研究函数极限和连续时，我们需要分别考虑它们的定义和性质，不能将它们混淆在一起。