cosx^3的积分可以通过多种方法来求解。下面将介绍两种常见的方法：

方法一：代换法

考虑将cosx^3拆开，即cosx^3 = cosx * cos^2x。我们可以将cosx用sinx代换，即cosx = sqrt(1-sin^2x)，那么cos^2x就可以表示为1-sin^2x。于是，原式就变成了：

∫cosx^3 dx = ∫cosx * cos^2x dx

= ∫cosx * (1-sin^2x) dx

= ∫cosx dx - ∫sin^2x cosx dx

第一项可以直接求解，即∫cosx dx = sinx + C，其中C为常数。

对于第二项，我们可以将sin^2x拆开，即sin^2x = 1-cos^2x，那么：

∫sin^2x cosx dx = ∫(1-cos^2x) cosx dx

= ∫cosx dx - ∫cos^3x dx

第一项已经求解过了，第二项可以通过分部积分法来求解。令u=cosx，dv=cos^2x dx，则du=-sinx dx，v=1/3*sin^3x。

根据分部积分法，有：

∫cos^3x dx = ∫u dv

= uv - ∫v du

= 1/3*sin^3x - ∫(1/3)*sin^2x*(-sinx) dx

= 1/3*sin^3x + (1/9)*sin^3x - (1/9)*cosx + C

= (4/9)*sin^3x - (1/9)*cosx + C

将第一项和第二项代入原式，得到：

∫cosx^3 dx = sinx + (4/9)*sin^3x - (1/9)*cosx + C

方法二：倍角公式法

我们知道，cos2x = 2cos^2x - 1，那么cos^2x = (cos2x + 1)/2。将cos^2x代入cosx^3中，得到：

cosx^3 = cosx * (cos2x + 1)/2

将原式中的cosx^3用上述公式代替，得到：

∫cosx^3 dx = (1/2)∫cosx * (cos2x + 1) dx

对于cosx * cos2x，可以使用积化和差公式进行拆解，得到：

cosx * cos2x = (1/2)*(cos(x-2x) + cos(x+2x))

= (1/2)*(cos(-x) + cos(3x))

= (1/2)*(cosx + cos3x)

将cosx * cos2x代入原式，得到：

∫cosx^3 dx = (1/2)∫(cosx + cos3x + 1) dx

= (1/2)*(sinx + (1/3)*sin3x + x) + C

综上所述，cosx^3的积分可以通过代换法或倍角公式法来求解，其中代换法较为常用。