初等矩阵是一种特殊的方阵，它只有一个元素不为零，其他元素都为零。它的主要作用是用于行初等变换和列初等变换，可以通过初等变换来改变矩阵的行列式和秩等性质。在初等矩阵的应用中，左乘和右乘是两种不同的操作方式。

初等矩阵左乘一个矩阵，相当于对这个矩阵进行一次行初等变换。例如，左乘一矩阵$A$的初等矩阵$E_$，就相当于将$A$的第$i$行与第$j$行交换。同理，左乘$E_(k)$就相当于将$k$倍的第$i$行加到第$j$行上。

而初等矩阵右乘一个矩阵，则相当于进行一次列初等变换。例如，右乘一矩阵$A$的初等矩阵$E_$，就相当于将$A$的第$i$列与第$j$列交换。同理，右乘$E_(k)$就相当于将$k$倍的第$i$列加到第$j$列上。

需要注意的是，初等矩阵左乘和右乘的结果是不同的，因为行初等变换和列初等变换的效果是不同的。例如，左乘$E_$可以改变矩阵$A$的行列式，但右乘$E_$却不会改变矩阵$A$的行列式。因此，在矩阵运算中，初等矩阵左乘和右乘需要根据具体问题来选择使用哪一种方式。

总之，初等矩阵是一种重要的数学工具，在线性代数、矩阵论等领域中有广泛的应用。初等矩阵左乘和右乘是两种不同的操作方式，它们分别对应着行初等变换和列初等变换。在使用初等矩阵进行矩阵运算时，需要根据具体问题来选择使用左乘或右乘，以达到最好的效果。