对称行列式是一种特殊的行列式，它具有一些独特的性质。

首先，对称行列式是一种方阵，其行和列的数量相等。其次，对称行列式的元素在对角线上是对称的，即$a_=a_$。因此，对称行列式的非对角线元素可以通过对角线元素和它们的交叉乘积计算得出。这个性质被称为交叉乘积性质。

对称行列式还具有另一个重要的性质，即它的特征值都是实数。这个性质被称为实特征值性质。这个性质的证明可以通过将对称行列式转化为对称矩阵，并利用对称矩阵的性质得出。

另外，对称行列式也具有行列式的一些基本性质，比如交换行列式的两行（或两列）会改变行列式的符号，交换行列式的任意两行（或两列）会得到相反的值等。

在应用中，对称行列式经常被用于求解线性方程组、计算矩阵的逆和行列式等问题。由于它具有一些独特的性质，因此对称行列式在数学和工程领域中都有广泛的应用。