相关系数是用来描述两个变量之间的线性关系程度的指标。其公式为：

$$r_=\frac^(x_i-\bar)(y_i-\bar)}{\sqrt^(x_i-\bar)^2}\sqrt^(y_i-\bar)^2}}$$

其中，$x_i$和$y_i$分别是第$i$个样本的两个变量取值，$\bar$和$\bar$分别是两个变量的样本均值，$n$是样本数量。

该公式可以通过一些数学方法进行化简，使其更加简洁和易于计算。以下是一些化简方法：

1. 对于两个变量的样本均值，我们可以使用以下公式：

$$\bar=\frac\sum\limits_^x_i$$

$$\bar=\frac\sum\limits_^y_i$$

将其代入相关系数公式中，得到：

$$r_=\frac^(x_i-\frac\sum\limits_^x_j)(y_i-\frac\sum\limits_^y_j)}{\sqrt^(x_i-\frac\sum\limits_^x_j)^2}\sqrt^(y_i-\frac\sum\limits_^y_j)^2}}$$

2. 对于分母项，我们可以使用以下公式进行化简：

$$\sqrt^(x_i-\frac\sum\limits_^x_j)^2}=\sqrt^x_i^2-\frac(\sum\limits_^x_i)^2}$$

$$\sqrt^(y_i-\frac\sum\limits_^y_j)^2}=\sqrt^y_i^2-\frac(\sum\limits_^y_i)^2}$$

将其代入相关系数公式中，得到：

$$r_=\frac^(x_i-\frac\sum\limits_^x_j)(y_i-\frac\sum\limits_^y_j)}{\sqrt^x_i^2-\frac(\sum\limits_^x_i)^2}\sqrt^y_i^2-\frac(\sum\limits_^y_i)^2}}$$

3. 对于分子项，我们可以使用以下公式进行化简：

$$\sum\limits_^(x_i-\frac\sum\limits_^x_j)(y_i-\frac\sum\limits_^y_j)=\sum\limits_^x_iy_i-\frac\sum\limits_^x_i\sum\limits_^y_j-\frac\sum\limits_^y_i\sum\limits_^x_j+\frac\sum\limits_^\sum\limits_^x_iy_j$$

将其代入相关系数公式中，得到：

$$r_=\frac^x_iy_i-\frac\sum\limits_^x_i\sum\limits_^y_j-\frac\sum\limits_^y_i\sum\limits_^x_j+\frac\sum\limits_^\sum\limits_^x_iy_j}{\sqrt^x_i^2-\frac(\sum\limits_^x_i)^2}\sqrt^y_i^2-\frac(\sum\limits_^y_i)^2}}$$

通过以上的化简方法，我们可以将相关系数公式化简为一个更加简洁和易于计算的形式，使其在实际应用中更加方便。