三线合一，是指一个三角形的三条中线、三条角平分线、三条垂线交于一点的现象。这个点被称为三角形的重心，也是三线合一的交点。

证明三线合一的方法有多种，下面将介绍其中三种常用的方法。

方法一：向量法

三角形的中线、角平分线、垂线都可以用向量表示。设三角形三个顶点分别为A、B、C，三线合一交点为G，则有：

中线AG = 1/2 (AB + AC)

角平分线AD = BC / (AB + AC) × AB

垂线AE = (AB × AC) / (AB + AC)

根据向量的加法和乘法，可以得到：

AG + AD + AE = (AB + AC) / 2 + BC / (AB + AC) × AB + (AB × AC) / (AB + AC)

将分母通分，得到：

AG + AD + AE = (AB² + AC² + BC²) / (2 × AB + 2 × AC)

由于三角形ABC中有AB² + AC² = 2 × BC²，因此可以得到：

AG + AD + AE = 3/2 × BC² / (AB + AC)

根据重心的定义，三线合一的交点G满足AG : GD = BG : GE = CG : GF = 2 : 1。因此，可以用向量表示重心G：

G = 1/3 (A + B + C)

将重心的向量代入AG + AD + AE的式子中，可以得到：

AG + AD + AE = 3/2 × BC² / (AB + AC) = 3/2 × GD

因此，可以证明三线合一，交点为重心G。

方法二：坐标法

假设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。则三角形的中点坐标分别为：

M1((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)

M2((x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2)

M3((x3 + x1) / 2, (y3 + y1) / 2)

三角形的角平分线分别为：

L1: x = (y3 - y1) / (x3 - x1) × (x - (x1 + x3) / 2) + (y1 + y3) / 2

L2: x = (y1 - y2) / (x1 - x2) × (x - (x1 + x2) / 2) + (y1 + y2) / 2

L3: x = (y2 - y3) / (x2 - x3) × (x - (x2 + x3) / 2) + (y2 + y3) / 2

三角形的垂线分别为：

H1: y = (x1 - x3) / (y3 - y1) × (y - (y1 + y3) / 2) + (x1 + x3) / 2

H2: y = (x2 - x1) / (y1 - y2) × (y - (y1 + y2) / 2) + (x2 + x1) / 2

H3: y = (x3 - x2) / (y2 - y3) × (y - (y2 + y3) / 2) + (x3 + x2) / 2

三线合一的交点G可以通过解方程组得到。

方法三：欧拉线法

欧拉线是三角形的垂心、重心、外心的连线。欧拉线的长度是三角形内心到垂心的距离的两倍。因此，如果能证明三角形的内心、垂心、重心、外心四点共线，就可以证明三线合一。

三角形内心、垂心、重心、外心的坐标可以用解析几何的方法求出。然后，可以证明它们共线，从而证明三线合一。

总之，三角形的三线合一现象是几何学中的一个基本定理。证明三线合一的方法有很多种，其中向量法、坐标法和欧拉线法是比较常用的方法。