投影向量和投影是线性代数中两个重要的概念，它们经常出现在向量空间、内积空间和几何学中。虽然它们都涉及到向量在某个方向上的投影，但它们之间的含义和计算方式却是不同的。

首先，投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影，它可以用向量的内积和向量的模长计算出来。具体地说，给定两个向量$\vec$和$\vec$，它们的投影向量$\vec$可以表示为：

$$ \vec=\frac{\vec\cdot\vec}{\|\vec\|^2}\vec $$

这个公式的含义是，向量$\vec$在向量$\vec$上的投影长度等于向量$\vec$在向量$\vec$方向上的投影长度，再乘以单位向量$\vec$。也就是说，投影向量$\vec$是一个平行于向量$\vec$的向量，它的长度等于$\vec$在$\vec$方向上的投影长度。

其次，投影是指将一个向量在某个方向上的投影长度求出来。如果我们有一个向量$\vec$和一个单位向量$\vec$，那么向量$\vec$在$\vec$方向上的投影长度$p$可以表示为：

$$ p=\vec\cdot\vec $$

这个公式的含义是，在向量$\vec$方向上，向量$\vec$的投影长度等于它们的内积。投影长度$p$可以是正数、负数或零，具体取决于向量$\vec$和$\vec$之间的夹角。

需要注意的是，投影向量是一个向量，而投影是一个标量。它们的计算方式和意义都不同，因此在使用时需要注意区分。同时，投影向量和投影在很多数学和物理应用中都有广泛的应用，如最小二乘法、反演问题、矩阵分解等。对于这些应用，理解投影向量和投影的概念是非常重要的。