矩阵是线性代数中非常重要的一种数学结构，它由若干行和若干列组成的矩形阵列所组成。在矩阵运算中，转置和乘法都是常见的运算方式，而矩阵的转置乘以矩阵本身等于什么呢？

假设我们有一个 $n \times m$ 的矩阵 $A$，那么它的转置矩阵 $A^T$ 就是一个 $m \times n$ 的矩阵，它的每一行都等于原矩阵 $A$ 的每一列。接着，我们将 $A^T$ 乘以 $A$ 得到的结果就是一个 $m \times m$ 的矩阵 $B$，即：

$$

B = A^TA

$$

那么，$B$ 矩阵有什么特殊的性质呢？我们可以用矩阵的定义来证明：

$$

\begin

B_ &= \sum_^ (A^T)_A_ \\

&= \sum_^ A_A_

\end

$$

其中 $B_$ 表示矩阵 $B$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，$(A^T)_$ 表示 $A^T$ 矩阵的第 $i$ 行第 $k$ 列的元素，$A_$ 表示 $A$ 矩阵的第 $k$ 行第 $j$ 列的元素。

我们可以看到，$B_$ 的计算公式是将 $A$ 矩阵的第 $i$ 行和第 $j$ 行对应元素的乘积相加，即：

$$

B_ = \sum_^ A_A_

$$

这个式子其实就是 $A$ 矩阵的列向量之间的内积，因此 $B$ 矩阵其实就是 $A$ 矩阵列向量内积的结果。而且，$B$ 矩阵还是一个对称矩阵，即 $B_ = B_$，这是因为 $A$ 矩阵的列向量内积是可交换的。

总结一下，矩阵 $A$ 的转置乘以矩阵本身得到的矩阵 $B$ 是一个对称矩阵，它的每个元素都是 $A$ 矩阵中列向量的内积，即 $B_$ 等于 $A$ 矩阵的第 $i$ 列和第 $j$ 列对应元素的乘积之和。这个性质在很多应用中都非常有用，比如在机器学习中的正则化问题中就会用到。