交换群是指群中任意两个元素的乘积都是可交换的。而单群是指群中除了单位元之外，没有其他子群。素数阶循环群是指由一个元素生成的循环群，其阶数为素数。

我们来证明交换群是单群当且仅当它是素数阶循环群。

首先，如果一个交换群是素数阶循环群，那么它一定是单群。因为如果存在一个非单位元素x，它生成了一个子群H，那么H中元素的阶数一定是x的阶数的因子。而由于x生成的循环群的阶数是素数，所以H中元素的阶数只能是1和x的阶数，因此H只能是，即H就是。所以这个群中除了单位元之外没有其他子群，满足单群的定义。

然后，我们再证明如果一个交换群是单群，那么它一定是素数阶循环群。假设这个交换群的阶数为n，而且它不是素数阶循环群。那么它一定存在一个元素x，使得它的阶数p是一个不为素数的合数。根据唯一分解定理，p可以分解成若干个素数的乘积，即p = p1 * p2 * ... * pk。由于群是交换群，所以x的阶数等于p的因子个数。因此x的阶数大于1，但是小于n，那么x生成的子群H一定是一个真子群，这与群是单群的定义矛盾。所以假设不成立，这个交换群必须是素数阶循环群。

综上所述，交换群是单群当且仅当它是素数阶循环群。