柯西不等式是实分析和复分析中一个非常重要的定理，它与积分有着密切的关系。在本文中，我们将介绍柯西不等式的公式积分形式，并讨论其在数学分析中的应用。

首先，让我们来回顾一下柯西不等式的基本形式。柯西不等式是指对于任意两个复数列$(a_n)$和$(b_n)$，有如下不等式成立：

$$ \left|\sum_^a_nb_n\right| \leq \left(\sum_^|a_n|^2\right)^\left(\sum_^|b_n|^2\right)^ $$

其中，$\sum_^a_nb_n$是两个复数列的内积，而$\left(\sum_^|a_n|^2\right)^$和$\left(\sum_^|b_n|^2\right)^$分别是两个复数列的$L^2$范数。

接下来，我们将讨论柯西不等式的公式积分形式。设$f(z)$和$g(z)$是复平面上的两个连续可导函数，且存在一个简单闭合曲线$C$将它们包含在内。则有如下公式积分形式的柯西不等式成立：

$$ \left|\oint_Cf(z)g(z)dz\right| \leq \sqrt \sqrt $$

其中，$\oint_Cf(z)g(z)dz$表示沿着曲线$C$的积分，$\oint_C|f(z)|^2|dz|$和$\oint_C|g(z)|^2|dz|$分别是$f(z)$和$g(z)$在曲线$C$上的$L^2$范数的平方。

这个公式积分形式的柯西不等式非常有用，因为它可以用来证明很多数学分析中的重要定理。比如，我们可以用它来证明柯西-黎曼方程的充要条件，即如果一个函数$f(z)$在某个区域内连续可导，并且满足柯西-黎曼方程，则它在该区域内解析。

此外，公式积分形式的柯西不等式还可以用来证明复平面上的调和函数的最大值原理。具体地，如果一个函数$u(z)$在某个区域内调和，则它在该区域内的最大值必须出现在区域的边界上。

总之，柯西不等式是数学分析中一个非常重要的定理，它的公式积分形式可以用来证明很多重要的定理和结论。因此，熟练掌握柯西不等式公式积分形式的应用是数学分析学习中的必备技能。