合比定理公式是初中数学中的重要定理之一，它可以帮助我们求解一些比例问题。下面我们来详细地推导一下这个公式。

假设有两个比例 $a:b$ 和 $c:d$，其中 $b$ 和 $c$ 相等，我们需要求出这两个比例的和比它们的差的值。我们可以按照以下步骤进行推导：

首先，我们将两个比例的分子分别相加，得到 $a+c$ 和 $b+b$。

接着，我们将两个比例的分母分别相加，得到 $b+d$ 和 $b+d$。

由于 $b$ 和 $c$ 相等，所以 $b+b$ 可以简化为 $2b$，$b+d$ 也可以简化为 $2b$。

因此，原来的两个比例可以表示为 $\dfrac$ 和 $\dfrac$。

接下来，我们将这两个比例相加并化简：

$$ \dfrac+\dfrac=\dfrac=\dfrac $$

最后，我们将这个式子化简一下，得到最终的合比定理公式：

$$ \dfrac:\dfrac=(2c+a-d):(2b) $$

这个公式可以用来求解一些比例问题，例如：若 $2:3$ 和 $5:7$ 两个比例中，前者的分母和后者的分子相等，求它们的和与差的比值。我们可以先将两个比例化成 $\dfrac$ 和 $\dfrac$，然后代入公式中，得到：

$$ \dfrac:\dfrac=(2\times5+2-7):(2\times3)=\dfrac $$

因此，它们的和与差的比值为 $\dfrac$。

总之，合比定理公式是一个非常有用的工具，它可以帮助我们更快更准确地求解比例问题。