极限公式是数学中的重要概念，它们在各种数学问题的解决中起着至关重要的作用。本文将介绍两个重要极限公式的变形。

1. 无穷小与无穷大之间的等价关系

在极限运算中，我们经常需要比较一个无穷小和一个无穷大的大小关系。根据定义，无穷小是在某一点附近非常接近于零的数，而无穷大则是在某一点附近趋于正无穷或负无穷的数。那么，如何比较它们的大小呢？

考虑两个函数f(x)和g(x)，在某一点a处，f(x)是一个无穷小，g(x)是一个无穷大，即：

$$\lim_f(x)=0,\ \lim_g(x)=\pm\infty$$

那么，我们可以通过以下等价关系来比较它们的大小：

$$\lim_\frac=0\iff\lim_\frac=0$$

也就是说，如果g(x)是一个无穷大，那么1/g(x)就是一个无穷小；反之，如果f(x)是一个无穷小，那么f(x)/g(x)也是一个无穷小。这个等价关系在求极限的过程中非常有用，可以帮助我们更好地理解和计算各种复杂的极限。

2. 洛必达法则的变形

洛必达法则是求极限中最常用的方法之一，它可以帮助我们快速求解各种复杂的极限。它的基本思想是将一个含有未定形式的极限转化为一个可以直接计算的形式。然而，在某些情况下，洛必达法则并不直接适用，需要进行变形才能求解。

例如，考虑以下的极限：

$$\lim_\frac-x-1}$$

直接应用洛必达法则会得到不定式0/0，无法求解。但是，我们可以将分子分母同时除以x，得到：

$$\lim_\frac-1}-\lim_\frac$$

这样，第一个极限可以直接应用洛必达法则，得到极限值为1。第二个极限也可以直接计算，得到极限值为0。因此，原极限的值为1-0=1。

这个例子告诉我们，在应用洛必达法则时，有时候我们需要对极限进行一些变形，才能使其符合洛必达法则的条件，从而求解出正确的极限值。

综上所述，无穷小与无穷大之间的等价关系和洛必达法则的变形都是极限计算中非常重要的技巧，对于解决各种复杂的数学问题具有重要的意义。