平面解析几何在管理会计中的一些应用
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作者: 李吉来
[摘要] 平面解析几何中的一些原理和方法，如一次函数、二次函数、三角函数的性质，函数图像等在管理会计中都有广泛的应用，运用这些方法学习管理会计，有事半功倍的效果。
[关键词] 二次函数 三角函数 增函数 减函数
管理会计中的某些内容可以采用平面解析几何中的原理和方法进行教学和课外辅导，对于没有学过高等数学的人学习管理会计，也具有重要的现实意义。现将这些方法举例如下:
一、二次函数性质的应用
[例1]某企业计划年度单位产品价格由基期价格P变动到P1、销售量由基期销售量Q变动到Q1，设△P=P-P1，△Q=Q1-Q，一般地，销售量变动方向与价格变动方向相反，∴△P与△Q同号。该产品计划期销售收入为：
R=P1Q1=（P-△P）（Q+△Q）
设X为价格变动率，X=△P/P；需求价格弹性系数Ep=(△Q/Q)/(△P/P）>0
移项得:△Q=EpQX
于是,R=P1Q1=（P-△P）（Q+△Q）=（P-PX）（Q+EpQX）
将上式化简，得价格需求变动目标函数为：R=PQ[-EpX2+（Ep-1）X+1]。试说明，当Ep为已知时，销售收入R的值将如何随X的变化而变化。
设关于X的二次函数:f(X)= R=PQ[-EpX2+（Ep-1）X+1]
配方后得f(X)=PQ{-Ep[X-（Ep-1)/2Ep ]2+（Ep+1）2/4Ep}
∵Ep>0，∴- Ep<0，二次函数f(X)的图像是一条开口向下的抛物线(图1），它的对称轴方程是，X=（Ep-1）/2Ep；顶点坐标是A（（Ep-1）/2Ep；PQ（Ep+1）2/4Ep）， 从图像可知，当X小于（Ep-1）/2Ep时，f(X)为增函数；当X大于（Ep-1）/2Ep时，f(X)为减函数；当X等于(Ep-1)/2Ep时，f（X）取最大值。
因此，我们得到结论：当X小于（Ep-1）/2Ep时，销售收入R随X的增加而增加（提价对企业有利）；当X增加到等于(Ep-1)/2Ep时，销售收入达到最大值PQ[（Ep+1）2/4Ep];当X大于(Ep-1)/2Ep时，销售收入反而会随X的增加而下降（这时，应当适当降价，使销售收入回归到最大值PQ[（Ep+1）2/4Ep]）。
二、三角函数的增减性和一次函数性质的应用
[例2]假定华夏公司今年拟生产甲、乙两种产品，其售价、成本及约束条件的资料如下表所示：
试为华夏公司做出应如何安排甲、乙两种产品的生产，才能获得最大贡献毛益总额。
设华夏公司今年生产甲产品x件，乙产品y件，两种产品的贡献毛益总额S(元)为：
S=（85－55）x＋（90－65）y
S=30x＋25y
目标函数S=30x＋25y为极大值时的约束条件如下：
在平面直角坐标系中作出上述不等式组对应的几何图形（图2）。设直线L1∶y=－3/2x＋900，L2∶y=－6/5x＋1/25S，L3∶y=－3/4x＋600，所对应的倾斜角分别为α1，α2，α3，
∵－3/2＜－6/5＜－3/4
即tgα1＜tgα2＜tgα3正切函数y=tgα，α∈（900,1800）时是增函数,∴α1＜α2＜α3
y=－6/5x＋1/25S的图象是在Y轴上截距为1/25S，斜率为－6/5的一簇平行线，根据本题条件，该直线上的点（x，y）应在上述不等式组所确定的区域内取值（包括该区域的边界）。由图2知，当该直线平行移动到经过该区域边界点A（400，300）时，截距1/25S最大。将A的坐标代入方程y=－6/5x＋1/25S,
得：Smax=19,500（元）
甲产品应生产400件，乙产品应生产300件。
三、三点共线，任意两点连线钭率相等原理的应用
[例3]现有下列投资方案，试计算方案的内含报酬率。
设i为折现率，在平面直角坐标系中，设以i为自变量的函数y1=60×1/(1＋i）1＋70×1/（1＋i）2 的图像为曲线f1，y2=100的图像为直线f2，f1与f2相交于点T（i，100）（图3），i即为所要求的内含报酬率。
f(i)=NPV=60×1/(1＋i）1＋70×1/（1＋i）2－100。
根据内含报酬率定义，本题意为，求使f(i)=70×1/(1＋i）2＋60×1/(1＋i）1－100=0时的i值。
先对折现率进行测试，测试结果如下：
NPV由正到负所对应的两个相邻的折现率是18%和19%，内含报酬率i处于18%与19%之间。
根据《折现率测试计算表》，设f1上的两点为A（18%，101.12），B（19%，99.8517）。把曲线f1在区间[18%，19%]之间的图像近似地看作线段AB，则根据A（18%，101.12）、T（i，100）、B（19%，99.8517）三点共线，任意两点连线斜率相等的原理，得比例算式:
(18%-i)/(18%-19%)=(101.12－100)/(101.12-99.8517)
解之得，内含报酬率i≈18.8831%
虽然平面解析几何的许多方法在管理会计中有着广泛的应用，但它只能解决简单问题。管理会计中有许多问题是用初等数学方法解决不了。我们要学好管理会计并把它应用于实际工作，不但要学好高等数学，而且要学好计算机技术。
参考文献:
[1]孙茂竹文光伟杨万贵主编:管理会计学，北京:中国人民大学出版社，2006年3月第3版
[2]李天民编著:现代管理会计学，上海:立信会计出版社，1999
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