基于通量校正传输方法的地震波数值模拟
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摘 要：地震波数值模拟在地震勘探中具有重要作用。有限差分法凭借自身优点，广泛的应用于波动方程求解中。本文将通量校正方法和交错网格高阶差分法有效的结合，对均匀半空间介质二维一阶速度-应力波动方程组进行数值解。得到同一时刻，时间二阶，不同空间阶数，不同网格步长的波场快照。结果表明，细网格步长和高阶差分能较好地压制数值频散;通量校正法在压制网格数值频散方面有明显的优势，在保持一定计算精度情况下，可采用较大的网格间距，提高计算效率。
关键词：有限差分法;数值模拟;交错网格;频散;通量校正传输法
中图分类号：P631.4 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2020）08-0218-03
0 引言
地震波数值模拟是研究各种地质条件下构造、物性和岩性等各种地质因素与地震波响应特征（运动学和动力学特征）之间关系的一门技术。地震波数值模拟是地震反演和偏移成像的基础，对于人们理解地震波传播规律，进行实际地震资料的地质解释以及地球资源开发等，均具有极其重要的意义。地震波波场模拟是以弹性波理论为基础，弹性波方程是其基本方程[1]。有限差分法凭借应用范围广、方便灵活、计算效率高等优点，广泛用于数值模拟中。然而，用有限的离散网格来近似连续的无限介质，以差商代替微商，会出现不同频率的地震波在介质中以不同速度传播的现象称为波的频散[2]。数值频散严重的影响波动方程数值计算精度，必须给予消除。本文将通量校正方法（Flux corrected transport method，FCT）应用于二维一阶速度一应力弹性波动方程的交错网格高阶有限差分求解中，进行数值模拟试验，并与其他差分模拟结果进行对比分析。
1 二维一阶应力-速度弹性波方程
由运动平衡微分方程、本构方程和几何方程推导得到二维一阶速度-应力弹性波动方程[3-4]：
表示介质的密度;t表示时间;、表示介质的拉梅常数和剪切模量;vx、vz表示质点在x，z方向的速度;和是正应力分量;是切应力分量。
2 二维交错网格有限差分近似
与其他地震波数值模拟方法相比，有限差分法具有适应条件广、方便灵活、便于实现等优點，因此大量应用于数值模拟中。而其中的交错网格高阶差分法与常规网格高阶差分相比，可进一步提高数值模拟的精度并有效的压制数值频散[5]。
2.1 时间2M阶差分近似
在用交错网格有限差分法解一阶弹性波方程时[6]，在半节点处（）计算速度分量vx、vz，在节点处（t时刻）计算应力分量、、。利用Taylor公式将和在t时刻展开，可得到：
2.2 空间2N阶差分近似
在交错网格有限差分计算中，在相应的变量网格半节点上计算变量的导数。对于具有2N+1阶导数的连续函数f（x），其一阶空间导数如下：
3 通量校正传输方法（FCT）
由于有限差分是对时间和空间网格的离散，以差商代替微商，以有限近似连续介质，这样就出现了模拟中不期望出现的波动现象—数值频散。差分格式的截断性决定了波动方程计算中的数值频散问题是无法避免的。数值频散严重干扰数值计算精度，对模拟的结果造成严重影响，应尽量压制。
Boris和Book[7]等最早在求解流体动力学连续方程时提出了通量校正传输方法。而后将FCT法用于求解声波方程，有效的压制了在粗网格情况下的差分计算产生的数值频散。
4 模型分析
设计尺寸为400m×400m均匀半空间介质模型，震源位于（200，200）处，震源为主频30Hz的Ricker子波，时间间隔，纵波速度，横波速度，密度为。通过交错网格差分得到时间二阶，不同空间阶数，不同网格步长模型在100ms时垂直分量的波场快照图，图1～图10所示[8-11]。
对比图1、图3、图5，当增加空间步长，即减少一个波长内离散点数，数值频散越严重。对比图1、图7、图9，随着空间差分阶数的提高，产生的数值频散会逐渐减小，因此可采用高阶差分来减小数值频散。对比图1和图2、图7和图8、图9和图10，经过FCT校正后，数值频散得到了很好的压制。对比图2、图9，发现低阶差分的波场模拟通过FCT校正也可以得到较高精度的模拟效果。
5 结论
本文给出了弹性波二维一阶应力-速度波动方程在交错网格中时间和空间差分近似，介绍了FCT方法，并将其用于波场模拟中。实际模型结果表明，采用细网格、高阶差分能较好的压制频散;通量校正方法与交错网格高阶差分有效结合，在压制网格数值频方面有明显的效果，并可采用较大空间步长，提高计算效率。
参考文献
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