突破解三角形中的求最值问题提升数学解题能力

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　　摘 要：解三角形问题是历年高考的高频考点，其中，解三角形中的求最值问题是难点，成为学生顺利解题的制约点。本文就常见的解三角形中的求最值问题进行了分类，归纳总结，以便学生在复习过程中突破此难点，在考场上对此类问题游刃有余，助力高考。
　　关键词：解三角形;最值;助力高考
　　解三角形中的求最值（范围）问题是高三复习中的难点，这类问题常常在知识的交汇点处命题，与三角函数、平面向量、平面几何等知识相结合，主要利用三角形性质、内角和定理、正弦定理、余弦定理、三角函数的有界性、基本不等式等知识去解决。以选择题、填空题、解答题体现，其试题难度属于中高档题。本文通过对近几年高考试题及模拟试题进行题型分析，对常见的解三角形的求最值（范围）问题的求解策略进行优化、归纳。
　　一、 利用三角函数的有界性求解
　　在解三角形求最值（范围）问题中可以利用正弦定理的边角互化，优先考虑边化角，借助三角函数的恒等变换、辅助角公式，化为单名、单角的形式，结合三角函数的有界性求解。
　　（一） 已知三角形中一角，求另外两角的三角函数值的最值。
　　例1 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA=3acosC，则sinA+sinB的最大值是（  ）。
　　 A.
　　1  B. 2  C. 3  D. 3
　　 解析：∵ 在△ABC中，csinA=3acosC    ∴
　　sinCsinA=3sinAcosC
　　 ∴tanC=3    ∴C=π3
　　∴sinA+sinB=sinA+sin2π3-A=32sinA+32cosA=3sinA+π6
　　∵A∈0，2π3    ∴A+π6∈π6，5π6
　　∴当A+π6=π2即A=π3时，sinA+sinB取最大值，最大值为3。故选C。
　　点评：例1中把已知条件结合正弦定理，求出三角形中的一个角，在求sinA+sinB的最值时从解三角形的角度出发，把所有的角都用一个未知角来表示，利用已学的三角公式解题是解决这类问题的通法。
　　（二） 已知三角形中的一角及其对边，求另外两边关系式的最值。
　　例2 例1条件不变，且c=3。（1）求a+b的最大值;（2）求a+2b的最大值;（3）求a2+b2的最大值;（4）求△ABC面积的最大值。
　　解析：（1）由例1知C=π3，而c=3   ∴2R=csinC=2
　　 ∴a+b=2（sinA+sinB）
　　此时，把求两边关系式的最值问题转化为求两角的三角函数值的最值问题，解答同例1，当A+π6=π2即A=π3时，sinA+sinB取最大值，最大值为23。
　　第（2）（3）（4）小问解法可参考（1）的解法，选择边化角，从角的角度来解决问题，使问题简单明了。
　　点评：此题要求两边关系式的最值，根据条件也可以用基本不等式去解答，但是我们若一味地去构造将得不偿失，所以我们选择边化角，从角入手，将会事半功倍。
　　（三） 已知两角关系式，求两边关系式的最值。
　　例3 锐角三角形ABC中，角A，B，C所對的边长分别为a，b，c，如果B=2A，则ba的取值范围是（  ）。
　　 A. （-2，2）   B.
　　（0，2）
　　 C. （2，2）   D. （2，3）
　　解析：由正弦定理，得ba=sinBsinA=sin2AsinA=2cosA
　　∵△ABC是锐角三角形，则0
　　∴0<2A<π2且0<π-3A<π2，则0
　　又∵π2
　　 ∴由①②得π6
　　 ∴cosA∈22，32
　　∴2cosA∈（2，3）。故选D。
　　 变式：例3条件不变，求aa+c的取值范围。
　　解析：由正弦定理，得aa+c=sinAsinA+sinC=11+sinCsinA，则只需求出sinCsinA的范围，条件所给的是A，B两角关系式B=2A，从而
　　sinCsinA=sinAcosB+cosAsinBsinA=sinA（2cos2A-1）+cosA（2sinAcosA）sinA
　　=2cos2A+cos2A=4cos2A-1
　　 由例3知，cosA∈22，32，
　　所以sinCsinA=4cos2A-1∈（1，2），aa+c=11+sinCsinA∈13，12。
　　点评：例题中只给了两角的关系式，没有涉及边的关系，所以优先选择边化角处理，将边转化为只含一个变量的函数，通过求函数的值域来解决。解答此题时容易忽略锐角三角形中任意一角介于0，π2之间，且任意两个锐角之和介于π2，π之间这两个隐含条件，而导致角A的范围过大，进而解题失败。
　　（四） 已知一边大小及两角关系式，求边的最值。
　　 例4 例3条件不变，且b=2，求c的取值范围。
　　解析：由例3知，cosA∈22，32
　　 ∵由正弦定理，得csinC=2sinB
　　∴c=2sin3Asin2A=2（3sinA-4sin3A）2sinAcosA=3-4sin2AcosA=3-4（1-cos2A）cosA=4cosA-1cosA 　　∵cosA∈22，32
　　 ∴c=4cosA-1cosA∈2，433
　　 ∴c的取值范围是2，433。
　　归纳总结：三角形中求最值（范围）问题，首先通过边角互化和代入消元，转变为只含一个变量的函数，将问题转化为求函数的值域来解决。解题时应注意角的范围的确定，需要根据三角形的形状和已知角的大小，或者利用如下等价关系来确定：a>bA>BsinA>sinB;A>BcosA
　　二、 利用基本不等式求解
　　在解三角形求最值（范围）问题中，通常把已知条件利用正弦定理、余弦定理进行转化，可以产生形如“ab”，“a2+b2”形式，此时便可利用基本不等式求解问题。
　　（一） 已知一角大小及两边关系式，求边的最值。
　　例5 （2018年衡水金卷模拟试题二，17）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足bcosC=（2a-c）cosB。（1）求角B;（2）若a+c=2，求b的取值范围。
　　解析：（1）B=π3（解答略）。
　　 （2）由（1）知B=π3，由余弦定理，得
　　b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac
　　=4-3ac≥4-3a+c2=4-3=1（当且仅当a=c=1时取等号）。
　　 又b
　　点评：利用余弦定理和基本不等式，结合三角形三边关系，体现了转化与化归的数学思想。
　　 （二）
　　已知一边大小及两边关系式，求面积的最值。
　　例6 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a2+b2=12，c=2，求△ABC面积的最大值。
　　解析：∵a2+b2=12，c=2
　　 ∴cosC=a2+b2-c22ab=4ab
　　 ∴sinC=1-4ab2
　　∵ab≤a2+b22=6
　　 ∴S△ABC=12ab′C=12（ab）2-16≤1236-16=5。
　　点评：在求三角形面积时能根据已知条件正确选择面积公式，避免走弯路，根据公式需要结合基本不等式求解。
　　 （三）
　　已知三个内角（三边）关系式，求角的范围。
　　例7 （2014江苏，14，5分）若△ABC的内角满足sinA+2sinB=2sinC，则cosC的最小值是    。
　　解析：∵sinA+2sinB=2sinC
　　 ∴a+2b=2c，即c=a+2b2
　　∴cosC=a2+b2-c22ab=3a2+2b28ab-24≥26ab8ab-24=64-24
　　（當且仅当3a2=2b2时取等号）   ∴cosC的最小值是64-24。
　　点评：cosC的展开式是有关于三边的代数式，故而利用正弦定理把边化成角，另外注意到a2+b2-c22ab分母中是两边之积，故而把分子中的c边用a，b边来表示，使基本不等式得以顺畅利用。
　　归纳总结：基本不等式是高考重要考查点之一，其主要形式是a+b≥2ab（a，b>0），a2+b2≥2ab（a，b∈R），应用其解题时要注意定理的适用条件，即“正、定、等”的判断。
　　在解三角形求最值（范围）问题中，通常是高考中的难点，在高三复习中提出以下几点教学建议：（一）夯实知识基础，构建解三角形及交汇处知识点网络化的结构;（二）强化函数思想，重视思想方法教学，提高学生的解题能力;（三）突出题型特征，在解题训练中提高素养，灵活运用，融会贯通，这类问题便能迎刃而解。
　　参考文献：
　　[1]王文祥，课堂新坐标.二轮专题复习与策略甘肃.数学（文科）[M].兰州：甘肃教育出版社，2018.
　　[2]魏敬波.解三角形中易错问题例析[J].中学生理科应试，2014.
　　[3]武增明.三角形问题中的最值的求解方法[J].中学生数学，2016.
　　作者简介：
　　 袁雨红，广东省河源市，河源市田家炳实验中学。
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