初探等比数列求和的几种方法
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作者: 徐荣祥
摘要：数列求和是高中数学教学中的难点、重点，属于思维开发类的题目。在教学过程中，由于其数列安排的繁琐、复杂，使学生一看容易产生“懵”的感觉，总是觉得无处下手，其实数列之间都有一定的关系，关键在于教师要引导学生分析、讨论其数列之间的关系形式，进而自主解决问题。新课改一直强调课堂教学中学生的主体性作用，作为教师在教学中可以引导学生分析数列关系，然后引导学生拓展思维，分析、讨论数列求和的解题方法。
关键词：等比数列；求和；方法
数列求和作为高中数学教学中的难点和重点，是高考考核的重要部分之一，作为教师应加强关注学生，结合学生的个性特征，构建和谐、平等的教学环境，引导学生分析、总结数列之间的关系，进而让学生自主探究、解证，凸现课堂教学中学生的主体性作用，鼓励学生创新，探索多种等比数列求和的方法。
所谓等比数列指的是：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。其中，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。注：q=1时，an为常数列。在此，笔者结合自己多年的教学经验，谈一下如何在等比数列求和教学中，引导学生总结多中解题方法。
一、恒等变形法
所谓恒等变形法指的是：在保持原式结果恒等的情况下，优化、改变原题的表现形式。这样一来，原式就具有明显的共同点，便于更好地解决问题。对于此方法的运用，可以首先师生共同分析、总结，改变原式；之后引导学生自主解题；最后，引导学生拓展思维，找出不同的变形式来解题，可以是自主地也可以是小组合作进行，锻炼和培养学生思维能力的同时提高学生的动手实践能力，深化学生对数学的认知。如：
解题：a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1。
1.师生共同分析、总结变形后的式子为：a1（1+q+q2+……+qn-1）之后，引导学生自主解决可以得出：a1（1+q+q2+……+qn-1）.分解因式等于：1-qn=（1-q）（1+q+q2+……+qn-1）.因此，a1（1+q+q2+……+qn-1）=a1（1-qn）/1-q，最后得出：sn=a1（1-qn）/1-q.
2.拓展学生思维空间，给予学生足够的自主权，让学生自主地或者小组合作找出其他的变形式，并解决问题，提高学生的数学素养。高中生已经具备了一定的独立思考能力，有了一定的思维结构，很快学生就得出了不同的变形式。即：
a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn-a1qn=a1+（a1q++a1q2+…+a1qn-1+a1qn）-a1qn=a1+q（a1+a1q+…a1q2+…+a1qn-1）-a1qn=a1+qsn-a1qn，因此，a1+qsn-a1qn=sn，所以同样得出：sn=a1（1-qn）/1-q，还可有：a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1=a1q+a1q2+……+a1qn-1+a1qn/q=sn-a1+a1qn/q，因此sn=sn-a1+a1qn/q最后也得出：sn=a1（1-qn）/1-q.这样的方法还多种多样，其关键在于教师的引导，数学本身属于实践性、探究性较强的学科，作为数学教师，应抓住一切机会，给予学生自主权，培养学生积极探究的兴趣和欲望，从而提高学生的综合技能。
二、比例性推理法
所谓比例性推理法指的是：根据等比数列的本质特征和性质公式，实施推理，得出结论，能够有效地锻炼学生的逻辑思维能力。如：等比数列的概念指出：a2/a1=a3/a2=……=an/an-1=q；通过等比定理可以推出：a2+a3+…+an/a1+a2+…+an-1=q；因此得出：sn-a1/sn-an=q；其中an=a1qn-1，将其带入化简式可以得出：sn（1-q）=a1（1-qn），最后得出：sn=a1（1-qn）/1-q.同样可以引导学生通过分比定理来自主解决问题，即：通过分比定理推出：a2-a1/a1=a3-a2/a2=…=an-an-1/an-1=q-1/1；之后，运用同样的道理，运用等比推理换化、得出化简式：-a1+an/sn-an=q-1，进而将an=a1qn-1带入，得出最后的结果。
三、总结推理法
所谓总结推理法指的是：对原式进行分解，逐一验证得出结果，根据其分解式的结果进行推理、总结，得出最后结论。等比数列有一定的规律性，那么其分解因式的结果也肯定有一定的规律性，这样，根据结果的规律性可以直接推导出最终结果。如：首先假设n=3，可以得出：s3=a1+a1q+a1q2=a1（1+q+q2）=a1（1-q3）/1-q；进而，继续假设，当n=4时，原式为：s4=a1+a1q+a1q2+a1q3=a1（1+q+q2+q3）=a1（1-q4）/1-q；通过这两组的确切数字分解可以直接得出：sn=a1（1-qn）/1-q.对此，教师还可以打破教材的束缚，拓展学生的思维，让学生在不断的探究过程中尝到成功的喜悦，进而增强自己学习数学的自信心。解决等比数列的问题时，只需引导学生寻找规律，进行推理即可。因此，在教学中，教师要大胆鼓励学生创新，并对创新的同学进行表扬，激励学生自主创新的意识。就上述等比数列的例题，教师可让学生自主探究，当n=k时，结论是什么？当n=k+1时，结论又是什么？详细分析、总结推导过程，丰富学生的解题方式。
四、结语
总之，等比数列求和的方法是多种多样的。作为教师，应创设情境，引发学生自主的深入探究，同时还可以举办“创新评比大赛”等活动，激励学生深入探究的积极性和欲望，鼓励学生大胆拓展思维，升华学生对数学知识的认识，全面提高学生的数学素养。
参考文献：
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［2］涂荣豹，王光明，宁连华．新编数学教学论［M］．上海：华东师范大学出版社，2006．
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［4］魏清．中学有效教学策略研究［M］．上海：上海三联书店出版社，2005．
（作者单位 江苏省高邮市甸垛中学）
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