三次样条函数及其在薄壁曲梁弯扭分析中的应用

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　　摘  要：桥梁是组成线路的重要部分，为了可以满足不同地形和地貌变化的要求，曲线梁桥便应运而生了，曲梁由于受到初始曲率的影响，其分析研究往往会比较复杂。分析的难点在于其纵向位移场函数的不确定性，而样条理论便是函数逼近的一个重要工具，文章对样条函数、薄壁曲线梁的弯扭分析分别进行了介绍，并将三次样条插值函数应用到了曲线梁的弯扭分析上，为曲线梁弯扭分析提供了一个新途径。
　　关键词：三次样条函数;曲线梁;弯扭分析
　　中图分类号：U448.21 文献标志码：A 文章编号：2095-2945（2019）16-0179-02
　　Abstract： Bridge is an important part of the line， in order to meet the requirements of different terrain and geomorphological changes， curved beam bridge arises at the historic moment. Due to the influence of initial curvature， the analytical research of curved beam is often more complex. The difficulty of analysis lies in the uncertainty of its longitudinal displacement field function， and spline theory is an important tool of function approximation. In this paper， the bending and torsion analysis of spline function and thin-walled curved beam are introduced respectively. The cubic spline interpolation function is applied to the bending and torsion analysis of curved beams， which provides a new way for the bending and torsion analysis of curved beams.
　　Keywords： cubic spline function; curved beam; bending and torsion analysis
　　1 概述
　　隨着我国公路工程以及桥梁工程的快速发展，出现了大量的曲线梁桥[1]。曲线梁桥造型优美，对周围环境适应能力强，与建筑或者环境共同组成了一幅美丽的图画。但曲线桥梁的受力较直线梁的研究却更加复杂，特别是其纵向位移场函数的研究一直是众多学者们所关注的热点问题。样条函数经常出现在数学学科的数值分析之中，随着研究的深入，人们发现样条插值通常会比多项式插值好用，而将样条函数应用于薄壁曲线梁的纵向翘曲位移场函数便是一个很好的途径。
　　2 三次样条函数概况
　　二十世纪六十年代的时候，放样工人参照曲线的函数表，利用压铁将有弹性的细长木条固定于几个相近的点上，而其他位置使其自由弯曲，然后沿着木条画下曲线，便形成了一条光滑的曲线，该曲线便称之为样条曲线。而三次样条函数的构造方法便与上述方法类似，三次样条函数要求指定点上具有连续的一阶导数和二阶导数。在计算机被广泛使用之前，数字的演算需要手工完成，虽然分段定义的阶梯函数或符号函数等有时也会被用到，但人们还是倾向于多项式函数，因为这类函数更加容易计算。而随着计算机问世和广泛使用，样条函数变得越发重要，分段三次样条函数作为人们经常使用的一类样条函数，具有较好的数值稳定性和收敛性，它不会出现高次多项式插值中的振荡现象。样条函数[2]在数学上有明确严格的定义：
　　3 薄壁曲线梁弯扭分析概况
　　 薄壁曲线梁在外荷载的作用下主要会发生弯曲和扭转两种变形，薄壁梁的弯曲理论建立在平截面假定之上，对于扭转则分为自由扭转和约束扭转两种，扭转理论主要建立在一个最基本的假定，即符拉索夫刚周边假定[3]。这一假定的内容是：在小变形的情况下，可以认为杆件扭转后的截面在其原来平面上的投影形状与原来截面的形状相同。最初弯曲和扭转是分开考虑的，而随着研究的不断深入，人们发现，对于一般的非对称截面形式，两个方向的弯曲和扭转还会产生耦合的效应，也为更为准确的曲线梁弯扭分析带来了一定的难度。
　　剪力滞后效应也是曲线梁弯扭分析时学者所关心的一个问题，什么样的纵向翘曲位移函数才能更好的描述剪力滞后效应一直是众多学者们研究的热点，目前比较常用的翘曲位移函数形式包含有二次曲线、三次曲线、四次曲线、悬链线函数、余弦三角函数等，但是即便采用了相同类型的函数形式，各个学者的修正方式也不尽相同。
　　4 结束语
　　 本文对样条函数以及曲线梁的弯扭分析进行了讲述，并指出样条函数作为插值函数可以用于薄壁曲线梁的位移场表达中，为薄壁曲线梁分析提供了一个新的途径。
　　参考文献：
　　[1]胡人礼.桥梁力学[M].北京：中国铁道出版社，1999.
　　[2]秦荣，李秀梅.结构力学的样条函数方法及程序[M].北京：科学出版社，2015.
　　[3]姚玲森.曲线梁[M].北京：人民交通出版社，1989.
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