基于双参数指数分布参数的统计推断研究
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作者:王思惟
摘 要：本文基于广义置信区间理论为基础，并结合广义p值，对双参数指数分布参数的统计推断问题进行了深入的研究。首先对双参数指数分布参数相同性验证问題进行了分析，重新定义了广义验证参数，给出了与其对应的广义p值，并数值分析的角度对验证算法的性质进行了分析。其次，以一个数据特征满足双独立服从双参数指数分布的产品均用年限比率为例，进行了统计推断分析，基于此算例构建了一个新的广义枢轴参数，并数值模拟了产品均用年限比率广义置信区间。最后，研究了几种情况下双参数指数分布同均值的验证问题和置信区间的估算问题，基于上述问题对广义验证参数和广义枢轴参数进行了重新定义，给出了同均值的广义置信区间和基于验证问题的广义p值，通过数学方法证明了其有效性。
关键词：双参数指数分布 广义置信区间 统计推断
中图分类号：O212.1 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2020）04（c）-0223-03
双参数指数分布是数学上一种非常重要的分布理论，应用范围非常广泛。可靠性理论与应用中被作为参数化寿命分布模型;金融和保险领域中被作为损失分布模型进行相关数据研究;在现代医学研究和现代工农业生产中也有广泛应用。正是基于双参数指数分布应用的广泛性，学术专家们在基于双参数指数分布的参数预估及假设验证问题方面进行了大量研究工作。广义置信区间和和广义p值理论是近年来统计推断研究领域中的一个重要研究分支。在诸多统计模型中得到了非常广泛的应用，用于在数据分析中解决数学模型的假设问题验证。
1 广义p值和广义置信区间
假定X是一组随机参数，其分布函数被定义为是参数向量，η是冗余参数（θ和η可能会以向量的形式存在），是样本空间，g是样本空间的变换空间，G中的组成元素定义成g，是参数θ对应的参数空间，是参数空间的诱导变换空间，中的组成元素定义成，参数x是随机参数X的观测值。
1.1 广义p值的定义
对于广义验证参数定义为，此验证参数与样本X相关，样本观测参数x，参数，需要满足以下性质：
（1）验证参数的分布与冗余参数不相关;
（2）验证参数的观测参数与其余未知参数不相关;
（3）对于特定的关于参数θ随机单调。
对于满足上述三条性质的广义验证参数来说，定义如下集合就是广义验证参数定义的极值区域，即：，如果Cx是广义上的极值域，则定义广义p值为：，当广义验证参数关于参数θ随机单调减，即θ为关于参数的单调减函数，此外函数：被定义为广义验证参数的功效函数，由前述的性质（1）、性质（2）可知，广义p值与其余参数不相关，所以广义p值可经过计算获得。
1.2 广义置信区间的定义
假定是一个关于随机样本X，观测值x以及参数的函数。随机参数R被定义为一个广义枢轴参数，若它满足以下两个条件：
（1）函数的分布情况与其他参数不相关;
（2）函数的观测值x冗余参数不相关。
对广义枢轴参数定义后，给出一个合理的置信系数γ，考虑R的样本空间的一个组成集合Cγ满足如下条件：，参数空间的组成集合：称为关于θ的100γ%广义置信区间。
2 双参数指数分布
2.1 双参数指数分布基本性质
双参数指数分布的概率密度函数是：，其中参数μ是门限参数，θ是刻度参数，定义为E（μ，θ），假设是一组基于双参数指数分布E（μ，θ）的容量大小为n的样本次序统计参数，根据指数分布的基本变换性质可以推导出：
独立同分布于，从而推导出如下结论：如果，则有：nX（1）与S之间存在独立性。
2.2 双参数指数分布参数的预估
假设是独立同分布的双参数指数分布E（μ，θ）的参考样本。
2.2.1 关于参数μ，参数θ的最大似然预估
在试验数据完整的前提条件下，将参数作为的次序统计参数，则样本的似然函数可以定义为：，将上式进行最大化处理后的可以得到关于参数（μ，θ）的最大似然预估：，，根据最大似然预估的基本性质就可以推导出关于参数（μ，θ）的精确分布情况。
在进行定数截尾试验的情况下，得到的样本数据为，其中参数1≤r≤n是的前面数量为r的次序统计参数，则参数（）的联合密度函数可以表示为：，其中，将式子进行最大化处理后的可以得到关于参数（μ，θ）的最大似然预估：，。
2.2.2 关于参数μ，参数θ的一致最小方差无偏预估
在试验数据完整的前提条件下，根据前文所提到的有关双参数指数分布的次序统计参数可以得到参数X（1）和参数S的期望值：，，进而推导出关于参数μ和参数θ的无偏预估值：，。
因为参数（X（1），S）是与参数（μ，θ）相对应的充分必要统计量，所说上式也同样是一致最小方差无偏预估值。其中。
2.2.3 关于参数μ，参数θ的最小二乘预估
在试验数据完整的前提条件下，根据分布函数式进行推导，则可以得到：这里需要进行关注的是每一个X（i）都存在一个与之相对应的F（X（i）），有此可以产生n对组合序列：，根据组小二乘法原理，则可以得到：，，其中，，。
3 双参数指数分布参数的统计推断 产品质量是企业在激烈的市场竞争中是否占据竞争优势地位的关键所在，而产品的使用寿命是与产品质量关联度非常高的一个性能指标。双参数指数分布是一種应用广泛的寿命分布，常用来对产品的使用寿命进行分析。因此，对双参数指数分布参数的假设验证问题具有重要的应用意义。
3.1 单个双参数指数分布总体下参数的假设验证问题
3.1.1 关于门限参数μ的验证问题
假设是一组基于双参数指数分布E（μ，θ）的容量大小为n的样本次序统计参数，对如下3种情况关于门限参数μ的验证问题进行讨论：
其中μ是需要被验证的未知参数，μ0是已知的常数。
（1）参数θ为已知情况下，关于μ的验证问题：
根据前文式可知，，所以选取验证统计参数：。
3.1.2 关于形状参数θ的验证问题
假设是一组基于双参数指数分布E（μ，θ）的容量大小为n的样本次序统计参数，对如下3种情况关于门限参数θ的验证问题进行讨论：
其中θ是需要被验证的未知参数，θ0是已知的常数。根据前文式可知，，所以选取验证统计参数：。
3.2 两个双参数指数分布总体下参数的假设验证问题
3.2.1 关于门限参数μ的验证问题
假设是一组基于双参数指数分布E（μ1，θ1）的容量大小为n的样本次序统计参数;假设是一组基于双参数指数分布E（μ2，θ2）的容量大小为m的样本次序统计参数;参数全部为未知参数，并且参数与之间存在独立性。对如下假设验证问题进行讨论：。
（1）参数为已知情况下，关于μ的验证问题，选取验证统计参数：。根据假设验证的基本理论，则可以推导出在设定显著性水平时的验证问题的拒绝域是：其中，tα满足方程。
（2）θ1与θ2未知且不一定相等情况下，关于μ的验证问题：
在进行定数截尾试验的情况下，假设是的k个次序统计参数，假设是的个次序统计参数，且。
选取似然比验证统计参数：，其中，，，，，。
根据假设验证的基本理论，则可以推导出在设定显著性水平时的验证问题的拒绝域是：。
3.2.2 关于门限参数θ的验证问题
假设是一组基于双参数指数分布E（μ1，θ1）的容量大小为n的样本次序统计参数;假设是一组基于双参数指数分布E（μ2，θ2）的容量大小为m的样本次序统计参数;参数全部为未知参数，并且参数与间存在独立性。对如下假设验证问题进行讨论：，选取验证统计参数：，根据前文式可知，，则有：，根据假设验证的基本理论，则可以推导出在设定显著性水平时的验证问题的拒绝域是：
4 结语
本文在统计推断问题的分析研究中，引入了广义置信区间和广义p值理论。对于多个双参数指数分布总体门限参数相似性的验证问题，重新给出了广义验证参数，并给出了与其对应的广义p值，并且证明了当样本总体进行等比例变换情况下，论述中所给出广义p值具有恒定性;对于多个双参数指数分布总体方差相似性的验证问题重新构建了新的广义p值方法。
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