周期激励下van der Pol-Rayleigh系统的簇发振动及其机理

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　　摘要：研究了慢变周期激励下van der Pol-Rayleigh系统的振动响应及其产生机理。利用快慢分析法，揭示了簇发振动的产生机理，并讨论了激励幅值对系统响应的影响。研究发现，两个Hopf分岔导致不同吸引子之间的转迁是产生双Hopf簇发的主要原因。慢变过程与快变过程共同影响系统响应，并且两者之间存在有趣的博弈现象：当激励幅值较小时，快变过程稳定吸引子对系统起着主导作用;激励幅值较大时，慢变过程对系统响应的影响更明显，并从系统响应的频率成分和分岔机理两方面详细解释了这一博弈现象。同时，在周期簇发振动中，系统存在激发态滞后行为，利用匹配渐近展开法分析了滞后机理，并计算出了有转折点情况下激发态滞后的近似时间。
　　关键词：非线性振动;簇发;滞后;分岔;快慢系统
　　中图分类号：0322
　　文献标志码：A
　　文章编号：1004-4523 （2019） 06-1067-10
　　DOI：10. 16 385/j. cnki. issn. 1004-4523. 2019. 06. 016
　　引言
　　许多领域都存在快慢系统，如机械工程[12]、生物神经[3-4]、化学反应[5-6]、电子电路[7-8]等。快慢系统极易出现簇发振动（也称作混合模式振动）[9-10]，即由若干较大振幅振动（激发态）和若干微小振幅振动（沉寂态）交替变化构成的周期振动[11-12]。针对此类现象，早期研究主要侧重于实验、数值模拟等方法。直到Rinzel，Izhikevich等[13-14]将快慢分析法和分岔理论引入到簇发现象的分析中，簇发现象的产生机理才开始被许多学者关注。王晓宇等[15]用快慢分离和多尺度法，研究了计入子星姿态的绳系卫星系统在平衡位置附近的稳态振动，并发现了子星的高频振动和系绳的低频振动之间存在明显的耦合现象。Jiang等[16]发现了当轻量杆的转动惯量远小于电机的转动惯量时，带柔性杆的电机一连杆系统为快慢耦合系统。文献[17-21]深入研究了大量神经元模型的簇发振动行为及其在各种复杂结构下的多尺度同步转迁过程。文献[22-25]针对分段、多频、非光滑、高维等因素下的复杂非线性系统的簇发振动及其产生机理做了大量工作。李向红等[26-27]给出了包络快慢分析法，该方法适用于三时间尺度的簇发现象机理研究，并在参数变易法的基础上提出了一种适合快慢系统的近似解析方法。刘富豪等[28]建立了基于速度协调法的齿轮副碰撞动力学模型，提出了针对该模型的“碰撞”数值算法，并利用该算法计算出了系统周期解对应的离散状态转移矩阵，进而求得了Floquent乘子，借此判断了系统周期解的稳定性。最近，Roberts等[29]研究了气候数据中复杂的混合模式振动行为。Mitra等[30]针对辉光放电等离子体系统，探讨了无碰撞磁化等离子体混合模式振动的典型现象及其相应的非线性行为。Kingston等[31]采用实验与数值仿真两种方法，得到了基于忆阻器的Lienard系统中存在混合模式振动。
　　另一方面，van der Pol-Rayleigh系统是一类典型的自激振动系统，常常用来模拟生物力学、机械工程和电路系统等工程领域的非线性行为。比如，Carlos等[32]利用耦合的van der Pol-Rayleigh系统对双足机器人进行建模。Erlicher等[33]提出了一种单自由度振动器，这种振动器可以模拟在周期性移动的地板上行走的人的侧向振动，并给出了谐波激励下改进的混合van der Pol-Rayleigh模型的稳态“夹带”响应。Trovato等[34]分析了在周期激励下改进的混合van der Pol-Rayleigh振动器“夹带”响应的稳定性，并将讨论的结果应用于行人建模问题中。同时很多学者在van der Pol-Rayleigh振子的稳定性和分岔等方面做了大量工作。Benguria和De-passier[35]得到了van der Pol-Rayleigh方程的周期和振幅的渐近值。Lupu和Isaia[36]利用广义的vander Pol-Rayleigh方程研究了具有分段参数的非线性动力系统的稳定性、分岔和自激振动的条件。Huang[37]探讨了随机van der Pol-Rayleigh方程的随机分岔、旋转数、随机极限环和吸引子行为。Yang等[38]研究了不同系統参数和白噪声对vander Pol-Rayleigh振子响应的影响，并给出了随机分岔的临界条件。
　　目前针对van der Pol-Rayleigh系统的快慢效应方面的研究工作较少。因此，本研究将致力于不同尺度耦合的van der Pol-Rayleigh系统。事实上，实际工程系统常常受到不同频率干扰的外界因素影响。当受周期激励作用且激励频率远小于固有频率时，系统是一个典型的快慢系统。研究其快慢效应，讨论参数对系统的影响规律，可以预测这一类系统的各种复杂运动形式;揭示簇发振动的分岔机制，有助于深刻理解不同尺度导致的复杂行为的产生原因，为系统参数优化提供理论依据。另一方面，自激振动对机械系统的性能有重要影响，充分考虑低频扰动因素，深入研究机械系统中复杂自激振动及其产生机制，在实际工程中，可以根据实际情况，合理利用或提前规避这些振动。在周期激励的快慢系统中，常常存在着分岔滞后的现象。针对van der Pol-Rayleigh系统，将利用匹配渐近展开法给出有转折点时激发态滞后的近似时间。该研究结果能为实际系统工程及Hopf分岔控制的研究提供一定的理论指导意义。
　　1 系统方程与分岔分析
　　具有周期激励的van der Pol-Rayleigh系统为式中 ω0>O，ω>O，γ>O，a>O，f>O，β>O为系统参数。当系统周期激励频率较小，即ω≤ω0且ω≤1时，周期激励为系统的慢变过程，式（1）为快慢耦合的系统。为了深入研究系统动力学行为及其分岔机制，将激励F=fcos（wt）作为快变过程的慢变分岔参数。考虑自治系统该系统的平衡点为E0（F/ω20，O），其派生线性系统的特征方程为点是稳定结点。 　　固定参数γ=0.8，ω=0.002，ω0=0. 64，a=0. 59，β=1.95，给出系统（2）的激励F与x的分岔图，如图1所示（实点、实线表示稳定，虚线表示不稳定）。平衡线AIA2是由四种不同类型的平衡线组成，其中AIB1，B2A2上的平衡点为稳定结点，BIH1，H282上的平衡点为稳定焦点，HIC1、C2H2上的平衡点为不稳定焦点，CIC2上的平衡點为不稳定结点。点Hl，H2为Hopf分岔的临界点;Bl，B2为转折点[39-41]，HIH2上存在稳定的极限环。点Cl，C2，Bl，B2，Hl，H2的坐标分别为（Fc.，XCl）=（一0.3373，-0. 8234），（F C2，TC2） =（0. 3373，0. 8234），（F B1，XBl）=（一1.01178，-2.47016），（F B2 9XB2）=（1. 01178 ，2. 47016）， （F Hl nHl）=（-0. 7541350，-1.84115），（FH2 9XH2）=（0. 754135091. 84115）。
　　2 慢变周期激励作用下系统的簇发响应
　　参数γ，ω，ω0，a，β的取值与第1节相同。随着激励幅值厂的变化，系统（1）存在不同的动力学行为。图2给出了厂分别取0.3，0. 754，2，1 0时，系统（1）的时间历程图。在图2（a）中，激励幅值f=0.3，系统的轨线呈现出两个频率耦合的周期振动行为。一个频率与周期激励频率ω=O.002一致;另一个频率接近快变过程的固有频率。由于固有频率远大于激励频率，在这组参数下，系统在每个慢变周期过程中一直按照固有频率进行近等幅高频振动，即系统一直呈现激发态振动。随着周期激励振幅的增加，系统的等幅高频振动逐渐演变为变幅高频振动，即高频振动的幅值在每个激励周期内存在明显变化，如图2（b）所示。当激励幅值继续增加，图2（c）给出了厂=2时系统的簇发振动响应，发现在每个慢变周期内系统逐渐演化为两种振动模式：一种是高频大幅振动的激发态;另一种是没有高频振动的沉寂态，此类振动即为簇发（混合模式振动）。当激励幅值继续增加，如图2（d）所示，在每个慢变周期内激发态消失，只存在沉寂态;同时，系统的周期响应只存在激励频率及其倍频成分，系统的固有频率成分在周期响应中消失。
　　另一方面，给出厂分别取0.3，0. 754，2，1 0时的频谱图，如图3（a）一（d）所示，v和a分别代表振动的频率和振幅，其中v1=ωn/2∏=0.64/6.28=0.1019，v2=ω/2∏=0.002/6.28=0.00031847。 由图3（a）一（d）可得，当激励幅值f=0.3时，系统中同时存在固有频率及其倍频和激励频率，但固有频率起主导作用，也即快变过程对系统的影响较大，因此，系统轨线表现为激发态振动。随着激励幅值的不断增大，固有频率成分越来越弱，激励频率影响逐渐增强。当激励幅值厂=10时，频谱图中只呈现激励频率及其倍频，也即系统只受慢变过程影响。因此，系统轨线中激发态消失，只表现为沉寂态振动。
　　由此可见，从系统响应的频率成分中可以发现快变和慢变参数共同影响系统的响应，快变过程的频率为系统的固有频率，慢变过程为周期激励过程，其频率为周期激励频率。当幅值较小时，在整个系统响应中同时存在快变和慢变两个过程的频率成分;当激励幅值很大时，整个系统响应只存在慢变过程的频率。因此，随着激励幅值的增加，快变过程对整个系统的影响逐渐减弱，慢变过程对整个系统响应的影响相对增强。
　　3 簇发响应的产生机理
　　为了深入解释上述现象，利用快慢分析法来揭示系统响应的产生机理。快慢分析法最早由Rinzel提出，用于揭示不同尺度快慢耦合系统的簇发行为的产生机理，广泛应用于研究神经元系统、生化反应系统、电化反应系统等领域的多时间尺度问题，并取得了一定的成果。本文研究的周期激励下vander Pol-Rayleigh系统在一定条件下是快慢耦合系统，因此，快慢分析法能有效地解释簇发行为的产生机理。具体步骤为将慢变量作为快变过程的慢变调节参数，进一步将系统轨线与快变过程分岔图叠加，进而来讨论簇发机理。为此，作出快变量x与慢变量fcos（0.002t）的转换相图，并将此相图与分岔图图1叠加，得到图4。图4（a）给出了厂=0.3时转换相图和分岔图的叠加图。显然，厂一0.3时，F=0.3cos（wt）在区间[一0.3，0.3]之间缓慢变化，导致整个系统轨线只涉及快变过程极限环吸引子，因此轨线会一直呈现高频振动的激发态。从图4（a）可以看出，系统的振动幅值与快变过程的极限环振幅高度一致。随着厂依次增大，系统轨线逐步向两边扩散，直至厂到达H2时轨线充满整个极限环区域，图4（b）给出了f≈FH2时转换相图和分岔图的叠加图。从图4（b）中可以看出，在Hopf分岔临界点附近，快变过程极限环的振幅逐渐减小导致了整个系统轨线的高频振动幅值也发生了变化。
　　当f>FH2时，F=fcos（wt）的变化会使得快变过程呈现不同类型的吸引子，即稳定极限环和稳定平衡点。图4（c）给出了f=2时的叠加图，当系统轨线访问快变过程的极限环吸引子时，系统呈现高频振动的激发态;当轨线访问快变过程的稳定平衡点吸引子时，系统会收敛到稳定的平衡线上.呈现沉寂态。在激励变化范围内，系统涉及到快变过程的两个Hopf分岔临界点。一个周期内，轨线要4次经过这些临界点，在不同稳定吸引子之间来回切换，导致了在一个周期内出现了两次激发态和两次沉寂态，因此称之为双Hopf簇发振动。
　　当激励幅值继续增加，系统存在远离和趋近快变过程的吸引子两种趋势。激励幅值的增加导致系统周期响应振幅在不同方向上增加。与幅值较小时相比，此时快变过程的吸引子对系统响应的吸引性减弱，导致高频振动消失。但是，快变过程的稳定吸引子依然存在，体现在轨线会远远地围绕稳定平衡线和极限环运动，如图4（d）和（e）所示。如果激励幅值继续增加，快变过程吸引子的吸引性将会越来越弱，响应中周期激励的特征越来越明显。 　　综上所述，可发现快变和慢变过程共同调节整个系统的响应。慢变周期激励会使得系统轨线在区间[一f，f]之间振动，振动过程中轨线会遇到快变过程的不同类型的吸引子，因而产生不同的振动形式。当激励振幅较小时，系统轨线将完全按照快变过程的稳定吸引子运动;随着幅值的增加，响应逐渐摆脱吸引子的吸引，即快变过程对系统响应的影响逐渐减弱，慢变过程的影响会逐渐增强。总之，不同稳定吸引子的吸引是沉寂态和激发态相互转迁的原因，这与Rinzel在其他领域的研究结果一致。因此，利用快慢分析法揭示快慢现象的产生机理是可靠的。
　　4 滞后现象及其产生机理
　　在簇发振动中，存在着激发态滞后的现象。如图5所示，其中ω0，ω，γ，a和β与第1节保持一致。图5（a）和（b）分别给出了f=2时周期激励增加和减少两个方向上的激发态滞后现象，即当厂cos（ωt）增大时，轨线经过Hopf分岔临界点Hl后，并没有马上进入激发态而是依然保持了一段时间的沉寂态，然后才进入激发态，即产生激发态滞后现象。系统轨线经过H2后，也并没有马上进入沉寂态，而是维持了一段时间的激发态，此时产生沉寂态滞后现象。当fcos（ωt）减小时，轨线经过Hopf分岔临界点H2和Hl后，情况亦然。下面用近似理论来分析与快时间有关的沉寂态过程的稳定性。
　　令r=ωt， 并其代入式（1）中，得到下式：对于式（4）来说，快变过程的平衡点（x0，y0）=进一步讨论稳定平衡点类型可得，平衡点在
　　将方程（4）的沉寂态过程称为准静态解，用（x，y）表示。因为ω《1，（x，y）是O（ω）量级，因此（x，y）可以写成如下形式
　　将式（5）和r=ωt代入式（1）中，对比ω零次幂的系数得到方程（1）的准静态解（x00，y00）=（x0，y0），即因此
　　因为ω《1，所以可忽略ω和ω2等项，也即（x（z，ω），y（z，ω））=（x00，y00）可作为系统（4）的稳态解。但准静态解对时间t的稳定性还不确定，因此需要进一步分析。
　　令代人式（1）得
　　由W KB指数近似理论[39]知式（9）存在以下形式的解式（11）与式（3）具有相同的形式。
　　在图5中，Hl和H2关于厂cosz=O对称，所以在H2附近的激发态滞后和在Hl附近的激发态滞后类似，因此只分析Hl附近的激发态滞后行为。从式（llb）发现，当2y-rax2=O时，FH1=
　　≈-0. 754。根据图1可知，F
　　在图5（a）中，f=2>1.01178，属于有转折点的情况。并且dφ/dz的取值情况如下
　　准静态解（x，y）的稳定性取决于φ=φ（z），即Re（φ）
　　当Re（φ）O时，准静态解失稳，激发态才会产生。因而往往存在激发态滞后于Hopf分岔点的现象。
　　下面将通过求式（14）的最小正解来计算滞后时间的近似值。
　　给出f=2在初值为z0=4. 162下的z与x的时间历程图，如图6（a）所示。已知zB1=4.189，zH1=4. 326。根据式（16）可得f=2相对于初值z0=4. 162的滞后时间为：zh=z1 - zHl =4. 388 -4.326=0. 062。将图6（a）局部放大可在图6（b）中更直观地看出滞后的时间z1与初值z0有关。进一步给出图6（c）所示的z与dφ/dz关系图，其中区域工的面积与区域Ⅱ的面积之和近似等于区域Ⅲ的面积，即
　　由于慢变参数激励是周期激励，所以激发态滞后也具有周期性。给出厂=2时初值分别为z0=4. 174，4.18，4.184的z与x的时间历程图，如图7（a）所示。根据式（16）可得，第1个周期对应的滞后时间Th分别为：0. 059，0.0582，0.0581。随着初值的增大，滞后时间逐渐减小。第2，3个周期的滞后时间分别约为0. 057，0.061。将图7（a）中第1个周期、第2个周期和第3个周期Hl附近局部放大，可得只有第1个周期的时间历程图不重合。第1个周期之后，3个初值下Hl附近的时间历程图完全重合。由此，可说明第1个周期之后Hl附近的激发态滞后时间完全相同，并且与初值无关。
　　给定不同的初值，在第1个周期内激发态滞后时间与初值有关。延长时间到第3个周期结束，可发现不同初值下的时间历程图在第2，3个周期内激发态的滞后时间相同。因此，初值对激发态滞后时间的影响不是一直都存在，在第1个周期之后这种影响便消失了。利用匹配渐近展开法计算出每个周期内Hl附近的激发态滞后时间大约为0.06。
　　利用匹配渐近展开法和近似理论计算有无转折点时激发态滞后时间是由Erneux等[41]提出的，此后，众多学者[39-47]用近似理论求得了无转折点时系统轨线缓慢通过分岔点时的滞后时间，本文考虑有转折点时激发态滞后时间的条件与文献[41]中的条件完全一致，计算过程与文献[42]提出的匹配渐近展开法的计算过程相同。因此，利用匹配渐近展开法求周期激励下van der Pol-Rayleigh系统中激发态滞后时间是有效的。计算结果与数值模拟结果吻合良好，故结果是可靠的。
　　5 结 论
　　当引入慢变周期激励时，van der Pol-Rayleigh系统是快慢耦合系统。在一定的参数范围内系统存在典型的双Hopf簇发响应。利用快慢分析方法，发现当轨线涉及两个Hopf分岔临界点时，系统将在不同吸引子之间切换，系统的双稳性导致了激发态和沉寂态的交替出現，即双Hopf簇发。当轨线只涉及极限环吸引子时，系统只存在高频振动的激发态，沉寂态消失。研究表明，在一定的参数范围内，慢变过程和快变过程共同影响整个系统的响应类型。且幅值不同时，快慢过程对整个系统响应的影响作用也不同。在激励幅值较小时，快变过程的影响更突出一些;激励幅值较大时，慢变过程的周期激励对系统的影响更明显一些。此外，在Hopf分岔临界点Hl和H2附近存在激发态滞后行为，利用匹配渐近展开法给出了有转折点时激发态滞后的近似时间，给Hopf分岔控制的研究提供一定的理论指导。 　　参考文献：
　　[1] Georgiou I T，Bajaj A K， Corless M. Slow and fast in-variant manifolds， and normal modes in a two degree-of-freedom structural dynamical system with multipleequilibrium states[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics， 1998， 33（2）： 275-300.
　　[2] Marszalek W， Trzaska Z W. Memristive circuits withsteady-state mixed-mode oscillations[J]. ElectronicsLetters， 2014， 50（18）：1275-1277.
　　[3] Barnett W H， Cymbalyuk G S. A codimension-2 bi-furcation controlling endogenous bursting activity andpulse-triggered responses of a neuron model[J]. PloSone， 2014， 9（1）：e85451.
　　[4] 陆 博，神经元的混合模式振动及动力学研究[D].广州：华南理工大学，2 016.
　　Lu Bo. Mixed mode oscillation and dynamics of neu-rons[D]. Guangzhou： South China University ofTechnology， 2016.
　　[5] Rachwalska M， Kawczynski A L.Regularities in com-plex transient oscillations in the Belousov-ZhabotinskyReaction in a CSTR[J]. The Journal of PhysicalChemistry A， 1997， 101（8）： 1518-1522.
　　[6] 李向红，不同时间尺度耦合化学振动反应的非线性分析[D].镇江：江苏大学，2013.
　　Li Xianghong. Nonlinear analysis of coupled chemicaloscillations with different time scales[D]. Zhenjiang：Jiangsu University， 2013.
　　[7] Babacan Y， Kacar F， Gurkan K.A spiking and burst-ing neuron circuit based on memristor[J]. Neurocom-puting， 2016， 203： 86-91.
　　[8] Ji Y， Bi Q. Bursting behavior in a non-smooth electriccircuit[J].Physics Letters A， 2010， 374 （13-14）：14 34-1439。
　　[9] Petrov V， Scott S K， Showalter K. Mixed-mode oscil-lations in chemical systems[J]. Journal of ChemicalPhysics， 1992， 97（9）：6191-6198.
　　[10] Koper M T M. Bifurcations of mixed-mode oscillationsin a three-variable autonomous van der Pol-Duffingmodel with a cross-shaped phase diagram[J]. PhysicsD-Nonlinear Phenomena， 1995， 80（1）：72-94.
　　[11] Han X， Bi Q， Zhang C， et al. Study of mixed-modeoscillations in a parametrically spiking van der Pol sys-tem[J]. Nonlinear Dynamics， 2014， 77 （4）： 1285-12 96.
　　[12] Xie Y， Chen L， Kang Y M， et al.Controlling the on-set of Hopf bifurcation in the Hodgkin-Huxley model[J]. Physical Review E Statistical Nonlinear&SoftMatter Physics， 2008， 77（6）： 061921.
　　[13] Rinzel J，Lee Y S.Dissection of a model for neuronalparabolic bursting[J]. Journal of Mathematical Biolo-gy， 1987， 25（6）： 653-675.
　　[14] Izhikevich E M. Neural excitability， spiking and burst-ing[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos，2000， 10（6）：1171-1266.
　　[15]王曉宇，金栋平，计入姿态的绳系卫星概周期振荡[J].振动工程学报，2010， 23（4）：361-365. 　　Wang Xiaoyu， Jin Dongping. Quasi-periodic oscillationof a tethered subsatellite with attitude[J]. Journal ofVibration Engineering， 2010， 23（4）：361-365.
　　[16] Jiang S Y， Xu J，Yan Y. Stability and oscillations in aslow-fast flexible joint system with transformation de-lay[J].Acta Mechanica Sinica， 2014， 30 （5）： 727-738.
　　[17]王海侠，陆启韶，对称电耦合连接方式下的多尺度同步行为和转迁过程[J].动力学与控制学报，2011， 09（3）： 214-218.
　　Wang Haixia， Lu Qishao. Multi-time-scale synchroni-zation and transitions with symmetrical and electricalcoupling schemes[J]. Journal of Dynamics&Control，2011， 09（3）：214-218.
　　[18]杨卓琴，陆启韶，神经元Chay模型中不同类型的簇放电模式[J].中国科学G辑，2007， 37 （4）： 440-450.
　　Yang Zhuoqin， Lu Qishao. Different types of clusterdischarge patterns in the Chay neuron model[J]. Sci-ence in China（Series G），2007， 37（4）： 440-450.
　　[19] Wang Q， Lu Q， Chen G. Synchronization transitioninduced by synaptic delay in coupled fast-spiking neu-rons[J]. International Journal of Bifurcation and Cha-os. 2008， 18（04）：1189-1198.
　　[20] Yang Z Q， Zhang X.Compound bursting in an electri-cal coupling model with three different time scales[J]. Acta Physica Sinica， 2013， 62（12）： 170508.
　　[21]孟 盼，陸启韶，赵 勇，等，两房室神经元模型的同步簇放电的动力学分析[J].动力学与控制学报，2016，14（6）：566-570.
　　Meng Pan， Lu Qishao， Zhao Yong， et al. Dynamicsanalysis of synchronous bursting in two-compartmentneuron[J]. Journal of Dynamics&Control， 2016， 14（6）： 566-570.
　　[22] Zhang Z D， Liu Y N，et al. Bursting oscillations andmechanism of sliding movement in piecewise Filippovsystem[J]. Acta Physica Sinica， 2018， 67 （11）：1105 01.
　　[23] Han X， Wei M， Bi Q， et al. Obtaining amplitude-modulated bursting by multiple-frequency slow para-metric modulation[J]. Physical Review E， 2018， 97（1）：012202.
　　[24]张正娣，彭 淼，曲子芳，等，频域两尺度下非光滑Duffing系统的簇发振动及其机理分析[J].中国科学：物理学力学天文学，2018， 48（11）：22-33.
　　Zhang Zhengdi， Peng Miao， Qu Zifang， et al. Burst-ing oscillations and mechanism analysis in a non-smooth Duffing system with frequency domain of twotime scales[J]. Scientia Sinica Pysica， Mechanica&Astronomica， 2018， 48（11）：22-33.
　　[25]季 颖，毕勤胜，高维广义蔡氏电路中的快慢动力学行为及其分岔分析[J].物理学报，2012， 61（01）：9—14.
　　Ji Ying， Bi Qinsheng. Bifurcation analysis of slow-fastbehavior in High-dimensional generalized Chua's circuit[J]. Acta Physica Sinica， 2012， 61（01）： 9-14.
　　[26] 11 Xianghong， Hou Jingyu， Chen Jufeng. An analyti-cal method for Mathieu oscillator based on method ofvariation of parameter[J]. Communications in Nonlin-ear Science and Numerical Simulation， 2016， 37： 326-353. 　　[27] 11 Xianghong， Bi Qinsheng. Bursting oscillation in COoxidation with small excitation and the envelopingslow-fast analysis method[J]. Chinese Physics B，2012.（6）：100-106.
　　[28]劉富豪，张 亮，蒋汉军，等，基于速度协调法的齿轮碰撞动力学分析[J].振动工程学报，2017， 30（3）：367-377.
　　Liu Fuhao， Zhang Liang， Jiang Hanjun， et al. Dy-namical analysis of collision for gear with velocity-modulated method[J]. Journal of Vibration Engineer-ing， 2017， 30（3）：367-377.
　　[29] Roberts A，Widiasih E，Wechselberger M，et al.Mixed mode oscillations in a conceptual climate model[J]. Physica D-Nonlinear Phenomena， 2015， 292-293：70-83.
　　[30] Mitra V， Prakash N H，Solomon I，et al. Mixedmode oscillations in presence of inverted fireball in anexcitable DC glow discharge magnetized plasma[J].Physics of Plasmas， 2017， 24（2）：022307.
　　[31] Kingston S L， Suresh K， Thamilmaran K. Mixed-mode oscillations in memristor emulator based Lienardsystem[C]. Mumbai， India：AIP Proceedings， 2018，1942 （1）：060008.
　　[32] Carlos A， Filho P， Dutra M S.Application of hybridvan der Pol-Rayleigh oscillators for modeling of a bi-pedal robot[J].Mechanics of Solids in Brazil， 2009，1：209-221.
　　[33] Erlicher S，Trovato A， Argoul P.A modified hybridvan der Pol/Rayleigh model for the lateral pedestrianforce on a periodically moving floor[J]. MechanicalSystems&Signal Processing， 2013， 41（1-2）： 485-501.
　　[34] Trovato A， Kumar A， Erlicher S.Stability analysis ofentrained solutions of the non-autonomous modifiedhybrid van der Pol/Rayleigh oscillator： Theory and ap-plication to pedestrian modeling[J]. Annals of Solid&Structural Mechanics， 2014， 6（1-2）：1-16.
　　[35] Benguria R D， Depassier M C. Variational principlefor limit cycles of the Rayleigh-van der Pol equation[J]. Physical Review E， 1999， 59（5） ： 4889-4893.
　　[36] Lupu M， Isaia F. The study of some nonlinear dynamicalsystems modelled by a more general Rayleigh-van der Poleequation[J]. Guizhou Science， 2007， 16： 81-90.
　　[37] Huang Z T. Random attractions and bifurcation forthe classical Rayleigh-van der Pol equations with smallnoise[J]. Journal of Mathematical Chemistry， 2013，51（9） ： 2340-2353.
　　[38] Yang G， Xu W， Feng J， et al. Response analysis ofRayleigh-Van der Pol vibro-impact system with inelas-tic impact under two parametric white-noise excitations[J]. Nonlinear Dynamics， 2015， 82（4）： 1797-1810.
　　[39] Bender C M， Orszag S A. Advanced MathematicalMethods for Scientists and Engineers I： AsymptoticMethods and Perturbation Theory[M]. Springer Sci-ence& Business Media， 2013. 　　[40] Han X， Bi Q， Zhang C， et al. Study of mixed-modeoscillations in a parametrically spiking van der Pol sys-tem[J]. Nonlinear Dynamics， 2014， 77（4）： 1285-12 96.
　　[41] Erneux T， Reiss E L， Holden L J， et al. Slow Pas-sage through Bifurcation and Limit Points[M]. Dy-namie Bifurcations， Springer， Berlin Heidelberg，1991： 14-28.
　　[42]本德 C M，奧斯扎戈s A.高等应用数学方法 [M].北京 ： 科学出版社， 1992.
　　Bender C M， Orszag S A. Advanced MathematicalMethods for Scientists and Engineers[M]. Beijing：Science Press， 1992.
　　[43] Holden L， Erneux T. Understanding bursting oscilla-tions as periodic slow passages through bifurcation andlimit points [J]. Journal of Mathematical Biology，1993， 31（4）： 351-365.
　　[44] Holden L ， Erneux T . Slow passage through a Hopfbifurcation： From oscillatory to steady state solutions[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics， 1993， 53（4） ： 1045-1058.
　　[45] Strizhak P， Menzinger M. Slow passage through a su-percritical Hopf bifurcation： Time-delayed response inthe Belousov-Zhabotinsky reaction in a batch reactor[J]. Journal of Chemical Physics， 1996， 105 （24）：10905-10910.
　　[46] Desroches M， Kaper T J， Krupa M. Mixed-modebursting oscillations： Dynamics created by a slow pas-sage through spike-adding canard explosion in asquare-wave burster[J]. Chaos， 2013， 23 （4）： 37-119.
　　[47] Bilinsky L M ， Baer S M. Slow passage through aHopf bifurcation in excitable nerve cables： Spatial de-lays and spatial memory effects[J]. Bulletin of Mathe-matical Biology， 2018， 80（1） ： 130-150.
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